3.4 生活中的优化问题举例教学设计第一课时

生活中的优化问题举例

教学目标：

1、掌握利用导数求函数最值得基本方法；

2、提高将实际问题转化为数学问题的能力，提高学生综合、灵活应用导数的知识解决生活中问题的能力；

3、体会导数在解决实际问题中的作用。

教学重点：

利用导数解决生活中的一些生活中的优问题

教学难点：

将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。

教学教具：

多媒体

教学过程

一、复习引入

导数法求函数最值得基本步骤：

二、课标要求

1．了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用．

2．能利用导数求出某些特殊问题的最值．

三、学习要点点拨

1．生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，

这些问题通常称为优化问题．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间．

2．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤

(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；

(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论．其基本流程是

四、典例分析

命题方向 面积、容积最大问题

[例1] 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

[解析]

设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边长为a－2x，高为x，

V(x)＝(a－2x)x,0

232aV′(x)＝12x2－8ax＋a2. 令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0. 11解得x1＝a，x2＝a(舍去)．

62a1x1＝a在区间0，内，x1可能是极值点．且

26当00；

a因此x1是极大值点，且在区间0，内，x1是唯一的极值点，所21以x＝a是V(x)的极大值点．

6

1即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．

6a当x1

1即当截下的小正方形边长为a时，容积最大．

616

已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．

[解析]

如图所示，设出AD的长，进而求出AB，表示出面积S，然后利用导数求最值．

设AD＝2x(0

AB＝y＝4－x2，

∴矩形面积为

S＝2x(4－x2)(0

即S＝8x－2x3，

S′＝8－6x2，令S′＝0，

22解得x1＝，x2＝－(舍去)．

332当00；

32当

3所以，当x＝2时，S取得最大值，此时

3323S最大值＝. 9843即矩形的长和宽分别为，时，矩形的面积最大．

33命题方向 利润最大问题

[例2] 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0

(1)若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；

(2)若年销售量关于x52的函数为y＝3240－x＋2x＋，则当3x

为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？

[解析]

(1)由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．因此本年度的年利润为：

p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0

52(2)本年度的年利润为f(x)＝(3－0.9x)×3240×－x＋2x＋3＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f

′(x)＝3240×(2.7x2－59.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，令f

′(x)＝0.所以x＝或x＝93(舍)．

555当0

′(x)>0，当

′(x)<0，所以x＝时f(x)9995有最大值f＝20000. 95所以当x＝时，本年度的年利润最大，最大年利润为20000万元．

9

某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x(x∈N＋)．

4x＋32(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；

(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？

命题方向 费用(用料)最省问题

[例3] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

[分析] 设出CD的长为x，进而求出AC，BC，然后将总费用表示为变量x的函数，转化为求函数的最值问题．

[解析] 如图所示，依题意，点C在直线AD上，设C点距D点x km. 因为BD＝40，AD＝50，所以AC＝50－x.

所以BC＝BD＋CD＝x＋40. 又设总的水管费用为y元，则

2222y＝3a(50－x)＋5ax2＋402(0

5ax所以y′＝－3a＋2 . x＋40令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．

当x<30时，y′<0；当x>30时，y′>0. 所以当x＝30时，取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)，

即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．

某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．

五、课堂练习

1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝1400x－2x

0≤x≤40080000 x>4002

，则总利润最大时，每年生产的产品是(

) A．100 C．200

B．150

D．300 [解析]

由题意，总成本为：C＝20000＋100x，所以总利润为P300x－2－20000 0≤x≤400＝R－C＝60000－100x x>400300－x

0≤x≤400P′＝－100 x>400x2

，

，令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．

2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小

时，底面边长为(

) A.V C.4V 33B.2V

D．2V

33[解析]

如图，设底面边长为x(x>0)，

32V4V则底面积S＝x，∴h＝＝2. 4S3x4V32S表＝x·x×2 2×3＋43xS′表＝3x－43Vx2，令S′表＝0得x＝4V，

33因为S表只有一个极值，故x＝4V为最小值点．

＝43V＋3243V3x，S′表＝3x－2，令S′表＝0得x＝4V，

2x3x因为S表只有一个极值，故x＝4V为最小值点．

六、作业