1.4.2 存在量词名师教学视频（文字实录）

高二数学组

教

学

内

容：

1.4全称量词与存在量词、

课时教学设计：

来源学§科§网教学内容

三维目标

1.4全称量词与存在量词（约3课时）

知识与技能来源:Z+xx+k.Com]

1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词、存在量词的意义和全称命题、特称命题的概念；

2．能准确地利用全称量词和存在量词叙述数学内容．

3．掌握含有一个量词的命题的否定方法，进一步理解全称命题和特称命题之间的关系。

过程与方法

1．通过学习常用逻辑用语的基础知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用。

2．通过学习，体会从特殊到一般的探究性学习方法。

情感态度与价值观

通过本节课的学习，让学生认识到两种命题在刻画现实问题、数学问题中的作用，提高学生的逻辑判断能力和逻辑思维能力，激发学生的创新精神。

教学重点

教学难点

教学方法

1．理解全称量词与存在量词的含义；2．判断全称命题和特称命题真假的方法

全称命题和特称命题的否定。

启发引导，分析讲解，练习领会。

一．引入新课来源:Zxxk.Com]

【师】复习提问逻辑联结词有哪些？pq，pq，p的真假遵循什么规律之后，让学生思考

在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：教学过程

复习

引入

来源学科网

(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护．

(2)对于任意实数x，都有x20．

(3)存在有理数x，使x220

上述命题的含义是什么？

【生】命题⑴表示——只要是“中国公民”，其合法权利都受到中华人民

共和国宪法的保护．

命题⑵表示——对每一个实数x，必有“x20”，即没有使“x20”不成立的实数x存在．

命题⑶表示——至少可以找到一个有理数x，使“x220”成立．

【师】．

2．问题：

二．学生活动[来源:学科网]

像“所有”、“任意”、“每一个”等词在逻辑学中叫什么，数学中这样的词还有哪些？点题，板书课题。

1．全称量词：

“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”．

2．存在量词：

“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”．

3．全称命题与存在性命题：

（1）定义

含有全称量词的命题称为全称命题．

含有存在量词的命题称为存在性命题．

（2）全称命题与存在性命题的一般形式：

全称命题：xM，px

存在性命题：xM，px

其中M为给定的集合，px是一个关于x的命题．

4．含有一个量词的命题否定

【师】对于下列命题进行否定、你发现有何规律？

(1)所有的人都喝水；(2)存在有理数x，使x220；(3)对所有实数a，都有|a|0。

【生】命题（1）的否定为：“并非所有的人都喝水”，换言之，“有的人不喝水”命题否定后、全称量词变为存在量词，“肯定”变为“否定”。

命题（2）的否定为“并非存在有理数x，使x220”，即对所有的有理数“x，x220”命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变为“否定”。

命题（3）的否定为：“并非对所有的实数a，都有|a|0”即“存在实数a，使|a|0”。

一般地：“xM，px”的否定为“x0M，px0”，

“x0M，px0”的否定为“xM，px”。

师生共同解答下列各例

【例1】判断下列语句是否是全称命题或存在性命题．

（1）有一个实数a，a不能取对数；

（2）所有不等式的解集A，都有AR；

（3）三角函数都是周期函数吗？

（4）有的向量方向不定；

（5）自然数的平方是正数．

解：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）不是命题；（4）存在性命题；（5）全称命题．

说明：

（1）判断一个语句是全称命题还是存在性命题，应先判断它是否为命题；

（2）判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

【例2】判断下列命题的真假：

（1）xR,xx；

（2）xR,xx；

（3）xQ,x80；

（4）xR,x20．

22解：（1）因为x2时，xx成立，所以，“xR,xx”是真命题．

22（2）因为x0时，xx不成立，所以，“xR,xx”是假命题．

2222

（3）因为使x280成立的数只有x22与x22，但它们都不是有理数，所以“xQ,x280”是假命题．

（4）因为对于任意实数“xR,x220”是真命题．

说明：①要判定一个存在性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假．

②要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x0，p(x0)为假．

【例3】用量词符号“”“”表达下列命题：

（1）实数都能写成小数形式；

（2）凸n边形的外角和等于2；

（3）任一个实数乘以1都等于它的相反数；

（4）对任意的实数x，都32有xx；

x，都有x220成立，所以，（5）对任意角，都有sin2cos21．

解：（1）xR,x能写成小数形式；

（2）x{x|x是凸n边形},x的外角和等于2；

（3）xR,x，x1x；

（4）xR,xx；

（5）R，sin2cos21．

【例4】写出下列命题的否定．

（1）所有人都晨练；

（2）xR,xx10；

（3）平行四边形的对边相等；

（4）xR,xx10。

解：（1）“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”。

（2）“xR,xx10”的否定是“xR,xx10”。

（3）“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”。

（4）“xR,xx10”的否定是“xR,xx10”。

22222232

【例5】写出下列命题的否定形式。

⑴实数的绝对值是正数；

⑵矩形的对角线互相垂直。

解：（１）命题“实数的绝对值是正数”可改写成“所有实数的绝对值是正数”，此命题是全称命题，所以此命题的否定为“存在一个实数的绝对值不是正数”。

（２）命题“矩形的对角线互相垂直”可改写成“所有矩形的对角线互相垂直”，此命题是全称命题，所以此命题的否定为“存在一个矩形，它的对角线不互相垂直”。

说明：对表面上不含有量词的命题的否定，应首先根据命题中所叙述的对象的特征，挖掘其隐含的量词，确定是全称命题还是存在性命题。

【例6】（含有逻辑联结词“或”，“且”的否定）

⑴若xy0,则x0或y0

⑵若x2y20,则x0,y0

解：（１）命题“若xy0,则x0或y0”的否定为“若xy0，则x0且y0”；

（２）命题“若x2y20,则x0,y0”

的否定为“若x2y20,则x0或y0

【例7】．（１）写出命题p：“偶数能被４整除”的否定形式“p”，并判断“p”的真假；

（２）将命题：“偶数能被４整除”改写成“如果．．．，那么．．．”的形式，然后再写出它的否命题，并判断否命题的真假。

分析：注意“命题的否定形式”和“否命题”是两个不同的概念。

解：（１）命题：“偶数能被４整除”可写成“所有的偶数能被４整除”，此命题是全称命题，所以此命题的否定为“存在一个偶数不能被４整除”，它是真命题。

（２）先将命题“偶数能被４整除”

改写成“如果．．．，那么．．．”的形式，即“如果一个数是偶数，那么它能被４整除”。然后再来写出它的否命题，即“如果一个数不是偶数，那么它不能被４整除”，它是个真命题。

说明：“命题的否定”是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假；而否命题和原命题可能是同真同假，也可能是一真一假。

学生作课本第23页练习和26练习，习题1.4A、

1．全称命题的否定：全称量词变存在量词，肯定变否定；

2．特称命题否定：存在量词变全称量词，肯定变否定。

课本第26页习题1.4B组

练习册51页1~9，大册子例2，例3及变式