2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教案设计

1．直线与平面平行的判定与性质

判定

定义

图形

条件

结论

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(

×

) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(

×

) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(

×

) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(

√

) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(

×

) (6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.(

√

) (7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(

×

) 定理

性质

a∩α＝∅

a∥α

a⊂α，b⊄α，a∥α

b∥α

a∥b

a∩α＝∅

a∥α，a⊂β，α∩β＝b

a∥b

1．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关

系是(

) A．l∥α

C．l与α相交但不垂直

答案

D 解析

当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α. 2．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有(

) A．①或②

C．①或③

答案

C 解析

由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故选C. 3．(教材改编)下列命题中正确的是(

) A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

答案

D 解析

A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．

4．(教材改编) B．②或③

D．①或②或③

B．l⊥α

D．l∥α或l⊂α

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案

平行

解析

连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，

则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE. 5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

答案

6 解析

各中点连线如图，只有面EFGH与面ABB1A1平行，在四边形EFGH中有6条符合题意．

题型一

直线与平面平行的判定与性质

命题点1

直线与平面平行的判定

例1

1如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD2的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面PAD. 证明

(1)连接EC，

1∵AD∥BC，BC＝AD，

2∴BC綊AE，

∴四边形ABCE是平行四边形，

∴O为AC的中点．

又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，

FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，

∴AP∥平面BEF. (2)连接FH，OH，

∵F，H分别是PC，CD的中点，

∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD. 又∵O是BE的中点，H是CD的中点，

∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD. 命题点2

直线与平面平行性质定理的应用

例2

(2014·安徽)

如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

(1)证明

因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，

且平面PBC∩平面GEFH＝GH，

所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

(2)解

如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，

同理可得PO⊥BD. 又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，

所以PO⊥底面ABCD. 又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，

从而GK⊥EF. 所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

11从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．

421再由PO∥GK得GK＝PO，

21即G是PB的中点，且GH＝BC＝4. 2由已知可得OB＝42，

PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，

所以GK＝3. 故四边形GEFH的面积S＝＝4＋8×3＝18. 2GH＋EF·GK

2思维升华

判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD

＝60°，E为PD的中点，AB＝1，

求证：CE∥平面PAB；

(2)如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求证：四边形EFGH是矩形．

证明

(1)由已知条件有AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝23. 如图所示，延长DC，AB，设其交于点N，连接PN，

因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，

所以C为ND的中点，

又因为E为PD的中点，

所以EC∥PN，

因为EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，

所以CE∥平面PAB. (2)∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，

∴CD∥EF. 同理HG∥CD，且HE∥AB，∴EF∥HG. 同理HE∥GF，

∴四边形EFGH为平行四边形．

∴CD∥EF，HE∥AB，

∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角．

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴平行四边形EFGH为矩形．

题型二

平面与平面平行的判定与性质

例3

如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明

(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

∴GH是△A1B1C1的中位线，

∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，

∴GH∥BC，

∴B，C，H，G四点共面．

(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB，

∴四边形A1EBG是平行四边形，

∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，

∴平面EFA1∥平面BCHG. 引申探究

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.

证明

如图所示，连接HD，A1B，

∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，

∴HD∥A1B，

又HD⊄平面A1B1BA，

A1B⊂平面A1B1BA，

∴HD∥平面A1B1BA. 2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明

如图所示，连接A1C交AC1于点M，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴M是A1C的中点，连接MD，

∵D为BC的中点，

∴A1B∥DM. ∵A1B⊂平面A1BD1，

DM⊄平面A1BD1，

∴DM∥平面A1BD1. 又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，

∴四边形BDC1D1为平行四边形，

∴DC1∥BD1. 又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，

∴DC1∥平面A1BD1，

又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，

∴平面A1BD1∥平面AC1D. 思维升华

证明面面平行的方法：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.

证明

因为AS＝AB，AF⊥SB，

所以F是SB的中点．

又因为E是SA的中点，所以EF∥AB，

又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以EF∥平面ABC，同理EG∥平面ABC，

又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC. 题型三

平行关系的综合应用

例4

如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

解

∵AB∥平面EFGH，

平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH. ∴AB∥FG，AB∥EH，

∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，

∴截面EFGH是平行四边形．

设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．

xCG又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，

aBCyBGxyb＝，两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，

bBCaba∴S▱EFGH＝FG·GH·sin α

bbsin α＝x··(a－x)·sin α＝x(a－x)．

aa∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a为定值，

bsin αabsin α∴当且仅当x＝a－x时，x(a－x)＝，

a4ab此时x＝，y＝. 22即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．

思维升华

利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝6a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD. 3

解

如图所示，

在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，

连接AG，在AB上取点F，使AF＝EG，

∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，

∴四边形FEGA为平行四边形，

∴FE∥AG. 又AG⊂平面PAD，FE⊄平面PAD，

∴EF∥平面PAD. ∴F即为所求的点．

又PA⊥面ABCD，∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，∴BC⊥面PAB. ∴PB⊥BC. ∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2. 设PA＝x则PC＝2a2＋x2，

由PB·BC＝BE·PC得：

6a2＋x2·a＝2a2＋x2·a，

3∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝3a. 又CE＝

∴a2－623a＝a，

33PE2GEPE2＝，∴＝＝，

PC3CDPC32222即GE＝CD＝a，∴AF＝a.即AF＝AB. 3333

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(

) A．AB∥CD

C．AB与CD相交

答案

D 解析

充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．

2．(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(

) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．AD∥CB

D．A，B，C，D四点共面

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

答案

D 解析

对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(

) A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

答案

B 解析

l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D项错．故选B. 4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n. 其中真命题的个数为(

) A．3

B．2

C．1

D．0 答案

C 解析

①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；②中l与m也可能异面；③中l∥γl⊂αα∩γ＝n

⇒l∥n，

同理，l∥m，则m∥n，正确．

5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，

能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(

)

A．①③

C．②③

答案

B 解析

①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，

B．①④

D．②④

∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图)．

④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP. 6．在四面体A－BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

答案

平面ABD与平面ABC

解析

如图，取CD的中点E，连接AE，BE.

则EM∶MA＝1∶2，

EN∶BN＝1∶2，

所以MN∥AB. 所以MN∥平面ABD，

MN∥平面ABC.

7.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1a的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在3CD上，则PQ＝______.

答案

22a

3解析

∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴MN∥PQ. a∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP＝，

3a2a22∴CQ＝，从而DP＝DQ＝，∴PQ＝a. 3338.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱)中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

答案

M∈线段FH

解析

因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一) 9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

求证：(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明

(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，

所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG. 又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG. 10.如图，E、F、G、H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：

(1)EG∥平面BB1D1D；

(2)平面BDF∥平面B1D1H. 证明

(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，

易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，

由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.

(2)由题意可知BD∥B1D1. 如图，连接HB、D1F，

易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1∥BF. 又B1D1∩HD1＝D1，

BD∩BF＝B，

所以平面BDF∥平面B1D1H. B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 11．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是(

) A．若m⊥α，m⊥β，α∥β

B．若α∥γ，β∥γ，则α∥β

C．若m⊂α，n⊂β，则α∥β

D．若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β

答案

C 解析

由线面垂直的性质可知A正确；由面面平行的性质可知B正确；m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α，β可能平行，也可能相交，故C错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知D正确．

12.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

答案

(8,10) DHGHAHEH解析

设＝＝k，∴＝＝1－k，

DAACDABD∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k. 又∵0

13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

答案

Q为CC1的中点

解析

如图，假设Q为CC1的中点，

因为P为DD1的中点，

所以QB∥PA. 连接DB，

因为P，O分别是DD1，DB的中点，

所以D1B∥PO，

又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，

所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

又D1B∩QB＝B，

所以平面D1BQ∥平面PAO. 故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO. 14．(2015·四川改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．

解

(1)点F，G，H的位置如图所示．

(2)平面BEG∥平面ACH，

证明如下：

因为ABCDEFGH为正方体，

所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，

所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，

所以BE∥CH，

又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH，

同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH. 15.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．

(1)求三棱锥A—PDE的体积；

(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

解

(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD. 又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD. 因为PD∩CD＝D，

所以AD⊥平面PCD，

所以AD是三棱锥A—PDE的高．

因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，

111×4×4＝4. 所以S△PDE＝S△PDC＝×222又AD＝2，

118所以VA—PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝. 333(2)取AC中点M，

1所以AM＝AC＝5. 2连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA. 又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，

所以PA∥平面EDM. 即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为5.