3.2.2 直线的两点式方程教学设计案例

3．2.1 直线的点斜式方程

点斜式、斜截式

[提出问题] 如图，过点A(1,1)作直线l.

问题1：试想直线l确定吗？

提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．

问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？

提示：确定．

问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？

提示：确定．

[导入新知] 1．直线的点斜式方程

(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．

(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.

2．直线的斜截式方程

(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，

且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式程，简称斜截式．

(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．

[化解疑难] 1．关于点斜式的几点说明：

(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．

轴方

- 1 -

(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝y－y0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点x－x0P(x0，y0)的一条直线．

(3)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．

2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别，当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数，一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.

直线的点斜式方程

[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________________．

(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________________．

(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________________．

[答案] (1)x＝－5 (2)y－4＝－(x－3) (3)2x－y＝0 [类题通法] 已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0. [活学活用] 若直线l过点(2,1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x轴；(3)平行于y轴；(4)过原点．

解：(1)直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，

所以由点斜式方程得y－1＝－1×(x－2)，

即方程为x＋y－3＝0. (2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1. (3)过点(2,1)且平行于y轴的直线方程为x＝2. 1(4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k＝，

21故所求的直线方程为y＝x. 2直线的斜截式方程

[例2]

(1)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________________．

- 2 -

(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．

[解] (1)y＝－3x－3 3(2)由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，

又∵l∥l1，∴l的斜率k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，∴l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. [类题通法] 1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．

2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．

[活学活用]

写出下列直线的斜截式方程：

(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；

(2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；

(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2. 解：(1)y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝3，∴y＝3x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)，

－2－011∴k＝＝，∴y＝x－2. 0－422两直线平行与垂直的应用

[例3] 当a为何值时，

(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？

(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a－2)x＋4互相平行？

[解] (1)设两直线的斜率分别为k1，k2，则k1＝a，k2＝a＋2. ∵两直线互相垂直，∴k1k2＝a(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 故当a＝－1时，两条直线互相垂直．

(2)设两直线的斜率分别为k3，k4，

则k3＝－1，k4＝a－2. ∵两条直线互相平行，

a－2＝－1，∴4a≠4，222

解得a＝－1.

- 3 -

故当a＝－1时，两条直线互相平行．

[类题通法] 判断两条直线位置关系的方法

直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若k1≠k2，则两直线相交．

(2)若k1＝k2，则两直线平行或重合，

当b1≠b2时，两直线平行；

当b1＝b2时，两直线重合．

(3)特别地，当k1·k2＝－1时，两直线垂直．

(4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．

[活学活用] 1．若直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直，则a＝________. 3答案：

82．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________．

答案：3

7.斜截式判断两条直线平行的误区

[典例] 已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)·x＋3y＋2m＝0，当l1∥l2时，求m的值．

[解] 由题设l2的方程可化为y＝－m－22m－2x－m，则其斜率k2＝－，在y轴上的截距333b2＝－m. ∵l1∥l2，

∴l1的斜率一定存在，即m≠0.

16∴l1的方程为y＝－x－. 23mmm－21－＝－，3m由l∥l，得26－m≠－3m，12

- 4 -

解得m＝－1. ∴m的值为－1. [易错防范] 1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．

2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．

[成功破障] 当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a－3)x＋2平行？

解：∵l1∥l2，∴a－3＝－2a且2a≠2，

解得a＝－3. 22

[随堂即时演练] 1．直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)(

) A．可以表示任何一条直线

B．不能表示过原点的直线

C．不能表示与坐标轴垂直的直线

D．不能表示与x轴垂直的直线

答案：D 2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(

) A．y＋3＝x－2

C．y＋2＝x－3 答案：A 3．直线y＝3x－2在y轴上的截距为________．

答案：－2 4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________________．

答案：y＝－3x＋2 5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；

(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．

解：(1)2x－y－1＝0 (2)x＋3y＋8＝0 [课时达标检测] 一、选择题

1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(

)

- 5 - B．y－3＝x＋2 D．y－2＝x＋3

A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C 2．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一直角坐标系中的图形可能是(

)

答案：D 3．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(

) 1A．y＝x＋4

2C．y＝－2x＋4 答案：D 4．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(

) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 答案：A 5．直线y＝2x＋3与y－2＝2(x＋3)的位置关系是(

) A．平行 C．重合 答案：A

二、填空题

26．过点(－3,2)且与直线y－1＝(x＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．

32答案：y－2＝(x＋3) 37．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点____________．

答案：(3,2) B．垂直

D．无法判断

B．y＝2x＋4 1D．y＝－x＋4 2

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8．已知斜率为2的直线的方程为5ax－5y－a＋3＝0，此直线在y轴上的截距为________．

1答案：

5三、解答题

9．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．

解：直线AB的斜率kAB＝－3－03＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程3－－832＋352－02为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的80－330＋55方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.

10．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．

33解：由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为y＝x＋b，l在x轴上的截距为2222333－b，在y轴上的截距为b，所以－b－b＝1，b＝－，直线l的方程为y＝x－，即15x33525－10y－6＝0.

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