第四章 圆与方程（通用）教学设计一等奖

【课题】8．4 圆

【教学目标】

知识目标：

（1）理解直线和圆的位置关系；

（2）了解直线与圆相切在实际中的应用．

能力目标：

培养学生的数学思维及分析问题和解决问题的能力．

【教学重点】

直线与圆的位置关系的理解和掌握．

【教学难点】

直线与圆的位置关系的判定．

【教学设计】

直线与圆的位置关系的判定是本节的难点，将直线的方程与圆的方程联立组成方程组，通过对方程组的解的讨论，来研究直线和圆的位置关系，理论上讲是很简单的，但是，实际操作的运算过程很麻烦．教材采用“数”“形”结合的方式，利用比较半径与圆心到直线的距离大小的关系来讨论的方法，相对比较简单．平面几何中，学生对这样判断直线与圆的位置关系比较熟悉，现在通过比较半径与圆心到直线的距离的大小，来判定直线与圆的位置关系，学生容易接受，例6就是采用这种方法进行讨论的．

经过一点求圆的切线方程，通常作法是设出点斜式方程，利用圆心到切线的距离与半径相等来确定斜率，从而得到切线方程，其中蕴含着“待定系数法”和“解析法”等数学方法．

例8是直线在科技领域中的应用知识，根据光学原理，反射角等于入射角，利用直线的斜率公式可以求得反射点P的坐标．例9是圆在生产实践中的应用知识．解决这类实际问题首先要选择直角坐标系．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

教

学

过

程

*揭示课题

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

8．4 圆（二）

*创设情境

兴趣导入

【知识回顾】

我们知道，平面内直线与圆的位置关系有三种（如图8-21）：

（1）相离：无交点；

（2）相切：仅有一个交点；

（3）相交：有两个交点．

并且知道，直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别（如图8-22）：

（1）dr：直线与圆相离；

（2）dr：直线与圆相切；

（3）dr：直线与圆相交. 教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

介绍

讲解

说明

质疑

引导

分析

了解

思考

思考

带领

学生

分析

启发

学生思考

0

15 图8－21

图8-22 *动脑思考

探索新知

【新知识】

设圆的标准方程为

(xa)2(yb)2r2，

则圆心C(a，b)到直线AxByC0的距离为

讲解

说明

引领

分析

说明

强调

思考

理解

观察

思考

带领

学生

分析

通过例题进一步领会

A2B2比较d与r的大小，就可以判断直线与圆的位置关系．

dAaBbC．

*巩固知识

典型例题

【知识巩固】

例6

判断下列各直线与圆的位置关系：

⑴

直线xy30,

圆(x1)2(y1)29；

22

⑵

直线3xy50, 圆xy10y0．

22解

⑴

由方程(x1)(y1)9知，圆C的半径r3，

30

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

圆心为C(1,1)．

圆心C到直线xy30的距离为

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引领

讲解

说明

主动

求解

思考

主动

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

21212由于dr，故直线l与圆相交．

⑵

将方程x2y210y0化成圆的标准方程，得

x2(y5)225．

因此，圆心为C(0,5)，半径r5．圆心C到直线3xy50的距离为

31即由于dr，所以直线与圆相交．

【想一想】

你是否可以找到判断直线与圆的位置关系的其他方法？

*例7

过点P(1,1)作圆x2y22x2y10的切线，d05522d11332, 0,

试求切线方程．

分析

求切线方程的关键是求出切线的斜率k．可以利用

原点到切线的距离等于半径的条件来确定k．

解

设所求切线的斜率为k，则切线方程为

y1k(x1)，

即

kxy(1k)0．

引领

圆x2y22x2y10的标准方程为

讲解

说明

(x1)2(y1)21，

所以圆心C(1,1)，半径r1．

图8－23 圆心到切线的距离为

k1(1k)2，

d222k(1)k1由于圆心到切线的距离与半径相等，所以

21，

2k1解得

k3．

故所求切线方程（如图8-23）为

y13(x1)，

即

3xy310或3xy310．

说明

例题7中所使用的方法是待定系数法，在利用代数方法研究几何问题中有着广泛的应用．

【想一想】

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

能否利用“切线垂直于过切点的半径”的几何性质求出切线方程？

*运用知识

强化练习

1．判断下列直线与圆的位置关系：

⑴

直线xy2与圆x2y22；

⑵

直线

y3与圆(x4)2y24；

3⑶

直线5x12y80与圆(x1)(y3)8．

2．求以C(2,1)为圆心，且与直线2x5y0相切的圆的方程．

*巩固知识

典型例题

【知识巩固】

例8 从M（2，2）射出一条光线，经过x轴反射后过点N（−8，3）（如图8−24）．求反射点P的坐标．

22教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

提问

巡视

指导

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

引领

讲解

说明

思考

主动

求解

通过例题进一步领会

50

60

图8−24

【说明】

光反射时，入射角等于反射角，即NPQQPM. 解 已知反射点P在x轴上，故可设点P的坐标为(x，0)．由于入射角等于反射角，即∠NPQ＝∠QPN.设直线PM的倾斜角为，则直线NP的倾斜角为180．所以

kPMtantan(π)kNP，

2030，

2x8x解得 x2．

（2，0）故反射点P的坐标为．

即 例9

某施工单位砌圆拱时，需要制作如图8－25所示的木

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

模．设圆拱高为1m，跨度为6 m，中间需要等距离的安装5根支撑柱子，求E点的柱子长度（精确到0.1m）． 解 以点D为坐标原点，过AG的直线为x轴，建立直角坐标系，则点E的坐标为（1，0）, 圆心C在y轴．

设半径为r，则

|CD|2|DG|2|CG|2，即

r(r1)3，解得

222教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

引领

分析

讲解

说明

说明

强调

提问

巡视

指导

观察

思考

主动

求解

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

70

80

r5．

所以圆心为（0，−4），圆的方程为

x(y4)25．将x＝1代入方程（取正值）得

y4240.9m．答 E点的柱子长度约为0.9 m.．

22

图8−25

*运用知识

强化练习

1．光线从点M（−2，3）射到点P（1，0），然后被x轴反射，求反射光线所在直线的方程

2．赵州桥圆拱的跨度是37.4米，圆拱高约为7.2米，适当选取坐标系求出其拱圆的方程．

3．某地要建造一座跨度为8米，拱高为2米的圆拱桥，每隔1米需要一根支柱支撑，求第二根支柱的长度(精确到0.01m)．

*理论升华

整体建构

思考

求解

及时

了解

学生

知识

掌握

得情

况

第8章

直线和圆的方程（教案）

教

学

过

程

思考并回答下面的问题：

如何判定直线与圆的位置关系？

结论：

直线与圆的位置关系，可以由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判别：

（1）dr：直线与圆相离；

（2）dr：直线与圆相切；

（3）dr：直线与圆相交. *归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测

本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？

判断直线xy2与圆x2y22的位置关系？

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：教材

(2)书面作业：教材习题8.4

A组（必做）；8.4

B组（选做）

(3)实践调查：寻找圆与直线的关系在生活中的应用

【教师教学后记】

项目

教师

学生

教学

时行为

行为

意图

间

质疑

归纳强调

回答

回忆

反思

动手

求解

记录

检验

学生

学习

效果

分层次要求

89

90

及时了解学生知识掌握情况

85

引导

提问

巡视

指导

说明

反思点

学生是否真正理解有关知识；

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题；

在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

学生是否参与有关活动；

学生的情感态度

在数学活动中，是否认真、积极、自信；

遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；

学生是否积极思考；

学生思维情况

思维是否有条理、灵活；

第8章

直线和圆的方程（教案）

是否能提出新的想法；

是否自觉地进行反思；

学生是否善于与人合作；

学生合作交流的情况

在交流中，是否积极表达；

是否善于倾听别人的意见；

学生是否愿意开展实践；

能否根据问题合理地进行实践；

学生实践的情况

在实践中能否积极思考；

能否有意识的反思实践过程的方面；

第8章

直线和圆的方程（教案）