2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计实例

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

湘潭县一中数学组

张春红

教材分析

空间中直线与直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，是我们研究的重点。

学情分析

本班学生为省级重点高中的学生，初中基础较好，理解力较强。空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识。其中，相交直线与平行直线是平面几何的内容，同学们已经非常熟悉。异面直线是一个新的概念，也是本节的重点和难点。

设计思想

从日常生活中的实例入手，直观感知异面直线不同于相交直线、平行直线的特点，抽象概括出异面直线的定义；通过对位置关系的内涵的探讨，同时类比平面内两直线的位置关系的量化研究，引导学生发现两条异面直线的位置关系及异面直线所成的角；让全体学生经历异面直线所成的角的科学性研究，引导学生发现公理4与等角定理两个理论依据，以及体会空间图形问题转化为平面图形问题的降维转化思想；例题的分析与讲解让学生加深对异面直线所成角的定义的理解，同时初步掌握平移的方法求异面直线所成的角. 教学目标

［知识与技能］

1.知道空间直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，初步掌握判断两直线的异面关系的方法，掌握异面直线的衬托画法；

2.以公理4和等角定理为基础，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角. ［过程与方法］ 1. 从日常生活中的实例入手，让学生经历直观感知异面直线特点，并抽象概括出异面直线定义的过程；

2. 通过类比日常生活中确定两个物体位置关系、以及平面几何中研究两直线位置关系的量化方法，发现研究异面直线位置关系和异面直线所成的角；

3. 让学生经历对异面直线所成的角定义的科学性的探究，发现公理4及等角定理是异

面直线所成的角定义的科学性的理论依据；

D1 C1 4. 经过对异面直线所成角的学习，让学生体会空间图形问题往往降维处理，转化成平A1 B1 面图形问题解决的思想. ［情感、态度与价值观］

F D M C A B N 由一系列问题引发学生思考，深化对概念的理解与应用，养成独立思考的习惯，形成严谨的科学研究态度。

教学重点：异面直线的概念、公理4及其运用。

教学难点：异面直线的概念，异面直线所成的角的概念的生成与求法。

教学过程：

一、新课引入

师：同一平面内两直线有哪几种位置关系？

生活实例：螺母、教室等有既不相交也不平行的直线。引出课题。

二、新课讲授

师：请在教室里找出几对这样直线的例子。

师：在空间，我们把这样的直线称为异面直线，那么我们怎样定义异面直线呢？

1. 异面直线的定义

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

师：两直线异面：两条直线

既不相交，又不平行。

两直线异面：两条直线

不同在任何一个平面内。

2．异面直线的画法

说明: 画异面直线时

, 为了体现它们不共面的特点，通常借助一个或两个平面来衬托. bbbaaa

(老师演示，学生模仿画）

3. 空间两条直线的位置关系



相交直线共面直线平行直线异面直线

课堂练习：

平行直线无公共点异面直线

有共公点：相交直线

1：如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线

AB异面的棱有

。

2：下列说法正确的是（

）

A、a

α

，b

β

，则a,b是异面直线

α

内，则a,b是异面直线

B、直线a,b不同在C、空间中两条不相交的直线是异面直线

D、不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线

D1

C1 4.平行线的传递性

观察：如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1//AA1,

A1

B1

DD1//AA1, 你能说出BB1与DD1的位置关系吗？

公理4 在空间，平行于同一条直线的两条直线互相平行。

D C

A B

a//b

符号表示

a//cA b//c公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

H

例1：

如图

，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，

E CD，DA的中点．

D 求证：四边形EFGH是平行四边形。

G

B 变式：在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH C F 什么图形？

C1

A1

课堂练习：

如图，AC//A1C1，AC=A1C1，AB//A1B1，AB=A1B1。

B1

求证：∠CAB=∠C1A1B1

变式：若延长CA到D，则∠C1A1B1与∠DAB是怎样的关系？

C A

B

4. 等角定理

定理（等角定理）:

在空间，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

H G 师：如图，正方体中，连接对角线BE和CH，则∠ABE 与∠DCH相等吗？

E F AB与CH是异面直线，AB与CG也是异面直线，这两组异面

直线有什么不同？你能用什么方法刻画呢？

D C

A B 5. 异面直线所成的角

异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。

注意：

1、为了简便点O常取在两条异面直线中的一条上；

2、两条异面直线所成的角的范围为（0°,90°]；

；

3、当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作

例2：如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

D1

C1

（1）直线AB1与直线DD1所成的角是（

）

A1

B1

A、∠BAB1

B、∠A1A B1

C、∠AB1A1

D、∠ABB1 （2）直线AB与直线CC1所成角的大小是（

）

A、30°

B、45°

C、60°

D、90°

D C （3）直线AC与直线B1D1（

）

A、平行

B、相交

C、异面且垂直

D、异面但不垂直

A

B

课堂小结：

1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2.空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线。

3.公理４（平行线的传递性）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4.等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

5.异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角。

A

H 思考：在例1中，如果再加上条件AC 

BD，那么四边形EFGH是什么图形？

E D

G

ab作业布置：P48.1.2

板书设计

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1、异面直线的定义:

例题板演

2、空间两直线的位置关系：

3、公理４（平行公理）

4、等角定理

5、异面直线所成角的定义

B F C