1.2.3 空间几何体的直观图优质课教学设计

1.2.3

空间几何体的直观图

1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点) 3．强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错、易混点)

[基础·初探] 教材整理

斜二测画法

阅读教材P16～P18的内容，完成下列问题．

1．直观图的概念

(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．

(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

3．立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴

O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同．(

) (2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴．(

) (3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变．(

) (4)斜二测坐标系取的角可能是135°.(

) 【解析】

平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确．

【答案】

(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

[小组合作型]

画平面图形的直观图

2-23的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．

按图1-

图1-2-23 【精彩点拨】

按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．

【自主解答】

画法：

(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H. (2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. (3)在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，1O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝2OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，11并在相应的平行线上取G′A′＝2GA，H′D′＝2HD. (4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图

A′B′C′D′E′(如图(3))．

1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．

[再练一题] 1．用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图1-2-24所示．

图1-2-24 【解】

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝2OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

画空间几何体的直观图

画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

【精彩点拨】

画轴→画底面→画顶点→成图

【自主解答】

画法：(1)画轴：

(1)

(2) 画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．

(2)画底面：

以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD. (3)画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图如图(2)．

1．画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可．

2．直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变．”

[再练一题] 2．由如图1-2-25所示几何体的三视图画出直观图．

图1-2-25 【解】

(1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC. (3)画侧棱．过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′. (4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．

[探究共研型]

直观图的还原和计算问题

探究1

如图1-2-26，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？

图1-2-26 【提示】

根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．

探究2

若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？

【提示】

由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝AC2＋BC2＝10. 探究3

如图1-2-27所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？

图1-2-27 【提示】

由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．

2-28是四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠

如图1-B′＝∠C′＝45°，求原四边形的面积.

图1-2-28 【精彩点拨】

可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积．

【自主解答】

取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′为y′轴，过D′点作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝2.再建立一个直角坐标系xBy，如图：

在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋2，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底11BC＝1＋2，高AB＝2，所以四边形ABCD的面积S＝2AB·(AD＋BC)＝2×2×(1＋1＋2)＝2＋2.

1．还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段．平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

2．求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解．

3．原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S＝22S′.

[再练一题] 3．如图1-2-29，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(

)

图1-2-29 2A.4a2

C．a2

B．22a2

D．2a2

【解析】

由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积．

所以S＝a·22a＝22a2. 【答案】

B

1．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(

) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形

B．梯形的直观图是平行四边形

C．正方形的直观图是菱形

D．平行四边形的直观图仍是平行四边形

【解析】

由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．

【答案】

D 2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(

) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm A

[平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．] 3．如图1-2-30所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

图1-2-30 【解析】

画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝245°，故顶点B′到x′轴的距离为2.

2【答案】

2

4．如图1-2-31所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.

图1-2-31 【解析】

由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，

1∴S△AOB＝2OA·OB＝6. 【答案】

6 5．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．

【解】

(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，

13在y′轴上截取O′A′＝2AO＝4

cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．