3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案设计

直线的倾斜角和斜率教学设计

直线的倾斜角和斜率是人教版数学必修第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，也是高中解析几何内容的开始。

《直线的倾斜角和斜率》教学设计

一、设计说明

“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，学生对几何的认识仅仅停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此从学生最熟悉的直线入手，去研究刻划直线性质的量—倾斜角与斜率，通过对这一问题的探索去揭示解析几何的本质是：用代数方法研究图形的几何性质.学生通过这一节的学习，初步感受复杂问题简单化、数形紧密结合的思想.

二、教学内容分析

直线的倾斜角是这一章所有概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学此章的关键;过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种的比值，要让学生理解这种表达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫;其二是斜率的本质是与所取的点无关.

三、教学目标

1.知识与技能：使学生理解倾斜角与斜率的概念，了解二者之间的关系，会求过已知两点的直线的斜率;

2.过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培养学生转化的思想，提高解决问题的能力;

3.情感、态度与价值观：在探索倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学态度.

四、教学重点与难点

重点：倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式;

难点：斜率;

对难点的处理：先从简单的过原点的直线入手，再分倾斜角为锐角、钝角的情况去分析.

五、教学策略

对于“倾斜角与斜率”的教学，教师创设问题情境，学生在问题的激励下主动探究，教学方法采用师生互动式;而“过两点的直线的斜率公式”的教学则采用“学生探索、教师适时讲解”的方法.

六、教学过程

(一)新知的引入：

在平面直角坐标系内，画出几条不同直线，诱导学生思考，有何不同?

从而进一步设计决定直线的位置有哪些条件呢?

(设计意图：学生在教师“问题串”的引导下去思考，得出本章重要知识点)

(二)概念的讲解：通过讨论我们已经知道，决定直线的位置的条件是一个点与方向.那么如何刻划直线的方向呢?学生肯定会想到角，也会想到用纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值.这时就需要教师的适时点播—引出刻划直线的方向的两个量---直线的倾斜角和斜率.

一、直线的倾斜角与斜率

1. 倾斜角(

(1)倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角;注：强调当直线与坐标轴轴平行时的倾斜角。

提问：倾斜角的范围是什么?(让学生自己去解决)

(2)倾斜角的范围：.

日常生活中，我们用坡度来刻划道路的“倾斜程度”，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比;为了用坐标的方法刻划直线的倾斜角，引入直线的斜率概念(也可以从一次函数的解析式引入，其中的K就是斜率.)

2.斜率让学生任画一条直线，类比坡度的方法，用坐标的方法刻划“直线的坡度”-斜率;

(强调若直线倾斜角相等，则斜率也相等)

教师定义:当横坐标从增加到时，纵坐标从增加到称为直线的斜率;

提问：由此定义，你能发现斜率的其他形式的定义吗?

再问：若倾斜角为锐角，求斜率的取值范围;若倾斜角在锐角内变化，斜率如何变化?

(三)例题的讲解(7分钟)

例1：求下列直线的斜率：

(1) y=x (2)y=1 (3)x=0.

(四)课堂练习

(五)本节课小结

八、设计反思

在平面解析几何《直线与方程》的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿《直线与方程》一章教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

《直线的倾斜角和斜率》说课稿

我说的课是高中第二册(上)第七章直线和圆的方程第一大节直线的倾斜角和斜率的第一节课。

一、关于教学目标的确定

1、

教材的地位及作用

直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识，直线的方程是研究两条直线位置关系的基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用，介绍了简单的线性规划问题。故本节课是学好这一章内容的关键。

2、

教学目的的认识

依据教学大纲的目的和要求规定及新课程标准要求，并结合学生的认知基础，我认为本节课的教学目标：

(1)知识目标：了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念;理解直线的倾斜角和斜率的定义;掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率。

(2)能力目标：通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力。

(3)情感目标：帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

二、重点、难点分析

1、本节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，及斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用.因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

2、本节的难点是对“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切这两个问题却并不容易接受。

三、教法、学法指导

1、学法辅导：

(1)学情介绍：

本课的教学对象是高二年学生，考虑到我校学生的数学基础较好，思维较为活跃，并针对本节课的教学任务，在教学中我通过创设问题情境。

(2)本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义?为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立?相应的教学过程也有三个阶段：

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢?学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。

②本节的难点是对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样。学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗?再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率?要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义。

(3)学生在学习过程中，要学会展开思维，教师的启发、激励，有利于思维的进行;问题情景的创设有利于思维的活跃。但教学是双边的活动，教师要注意观察学生是否动起来，予以情绪调控，使学生有意识地开动脑筋，主动投入。

2、教法方法：

斯托利亚尔指出“数学教学是教学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学”。本节内容在教学中宜采用启发式，设计为启发、引导、探究、归纳、总结的教学模式。倾斜角如何定义?为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立?这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的。在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结。把教学内容以问题的形

式呈现给学生，以便引起学生进行反思，从而形成必要的认知冲突，最终达到建构新的认知结构。

四、教学手段

本节课，除使用常规的教学手段外，我还使用多媒体课件辅助教学。把教学设计的步骤及内容制成课件，利于突破重点、难点，还能节省时间，扩大教学内容，加快教学节奏，体现教改的新理念。

五、关于教学程序的设计

(一)知识导入阶段

利用多媒体展示ssbezier变形曲线及笛卡儿简介，目的是让学生了解数学的发展史，及坐标法对数学发展起了巨大作用。

(二)知识探索阶段

(创设问题情景，展现概念形成过程)

1、直线的方程与方程的直线的定义

【问题1】有了“一次函数的图象”，为什么还要讲“方程的直线”?

一次函数的图象是一条直线，它能表示平面上的所有的直线?不能，因为一次函数的图象，与坐标平面上的直线的对应，是一种不完美的对应。坐标平面上，有些直线不能用一次函数表示。(如x=2)那么该怎样修补?

(方程的解

坐标

直线的点，直线

方程)

定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。

2、直线倾斜角定义

【问题2】如何确定一条直线?

两点确定一条直线.还有其他方法吗?或者说如果只给出一点，要确定这条直线还应增加什么条件?

学生：思考，回忆，回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度。

(动画演示)展示直线的倾斜度的变化情况。

【问题3】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?

讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题，同时还应该是简单的、自然的。

学生：展开讨论，学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导。

通过讨论认为：应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识，表明一个方向可以有无穷多个角，这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角)，当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念。

定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为

，那么

就叫做直线

的倾斜角。

特别地，当

与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°。

由此定义，角的范围如何? 0°≤α<180°或0≤α<π

(教师强调三点：(1)直线的方向向上(2) 轴的正方向，(3)最小正角)

3、

直线斜率的定义

用倾斜角刻画直线的方向，乃是几何问题，如何把直线方向量化?

【问题4】为什么要用倾斜角的正切定义斜率?而不用正弦、余弦或余切哪?

可联想到工程问题中的“坡度”，及三角函数的定义。

定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作

，即

。

(动画演示揭示直线倾斜角与斜率的对应关系)强调

定义域与值域的对应关系，及函数的单调性。

4、

直线过两点斜率公式的推导

【问题5】如果给定直线的倾斜角

，我们当然可以根据斜率的定义

=tanα求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢?

即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率。

思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导，运用正切定义，解决问题。

; x1= x2?

说明：(1)公式适用范围：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴。因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。

(2)公式与P1 和P2的顺序无关，但要注意下标的对应关系。

(三)知识应用阶段

我设计了二道例题例1是道斜率与倾斜角概念的辨析题，而例2是课本的例题已知直线的倾斜角求斜率，还设计两道变式题，目的是培养学生的发

散思维能力，讨论倾斜角变化：锐角—钝角—抽象角，对斜率的影响，加深同学对斜率与倾斜角对应关系的理解。

例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的：

(1)任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

( ) (2)直线的倾斜角越大，它的斜率就越大; ( ) (3)平行于x轴的直线的倾斜角是

; ( ) (4)两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等; ( ) (5)直线斜率的范围是(-∞，+∞) ; ( ) (6)直线的斜率为tan ,则直线的倾斜角为

; ( ) 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°;②直线倾斜角的取值范围是[ ;③倾斜角是90°的直线没有斜率.。④坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。

例2：

如图，直线

的倾斜角

=30°，直线

⊥

，求

、

的斜率。

分析：对于直线

的斜率，可通过计算

直接获得，而直线

的斜率则需要先求出倾斜角

，而根据平面几何知识，

，然后再求

即可。

解：

的斜率

=tan=tan30°= ，

∵

的倾斜角

=90°+30°=120°，

∴

的斜率

=tan120°=tan(180°-60°)

=-tan60°= 。

评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定。

【变式1】直线

的倾斜角

=150°，直线

⊥

，求

的斜率。

【变式2】已知直线

的倾斜角

，直线

⊥

，求

的斜率及倾斜角。

(四)在学习小结阶段：带领学生对所学的知识和方法进行梳理，本节须掌握三个概念：直线方程、倾斜角和斜率;两个关系：直线的方程与方程的直线、斜率与倾斜角;两个问题：求倾斜角问题，求斜率问题。

(五)知识延伸拓展阶段：

在知识延伸拓展阶段，编制了三道思考题，在于拓宽学生的视野，斜率是联结数与形的纽带。体现了分层教学的思想，达到因材施教的目的。