1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计内容推荐

第一章

空间几何体

1.3

空间几何体的表面积与体积

1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

学习目标

1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式,提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣.

2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的能力.

学习过程

一、课题导入,问题探究

问题1:我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗?

问题2:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,如何计算它们的表面积?

问题3:类比棱柱和棱锥,如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积?

问题4:联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗?

二、类比思考,引起联想

问题5:请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系?

问题6:回顾长方体、正方体和圆柱,你能将它们的体积公式统一成一种形式吗,并依次类第

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比出柱体的体积公式.

问题7:怎么得到锥体和台体的体积公式呢?

三、典型例题

【例1】若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为(

)

A.18

B.15

C.24+8

D.24+16

【例2】已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积.

【例3】(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是(

) A.1∶2∶3

B.1∶7∶19

C.3∶4∶5

D.1∶9∶27 (2)三棱锥V-ABC的中截面是△A1B1C1,则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是(

) A.1∶2

B.1∶4

C.1∶6

D.1∶8

【例4】

有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8

g/cm3)六角螺帽,共重5.8

kg,已知底面是正六边形,边长为12

mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π取3.14)

四、作业精选,巩固提高

1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为(

) A.

B.

C.

π

D.

2.向高为H的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是(

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3.一个圆台的上、下底面面积分别是1

cm2和49

cm2,一个平行于底面的截面面积为25

cm2,则这个截面与上、下底面的距离之比是(

) A.2∶1

B.3∶1

C.

∶1

D.

∶1 4.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是

.

5.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.求

(1)该几何体的体积V; (2)该几何体的侧面积S.

布置作业

课本P28习题1.3A组第1,2,3题.

参考答案

一、问题1:正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的表面积就是各个面的面积的和.

问题2:棱柱的侧面展开图是平行四边形,其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.

问题3:由于它们的底面都是圆面,其底面积直接应用圆的面积公式即可,其中圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积,表面积等于侧面积与底面积的和.

如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl,因此,圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l).

(设计意图:将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题常用的方法.) 问题4:

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圆台的侧面展开图是一个扇环,它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积,即S=π(r2+r'2+rl+r'l).

二、问题5:圆柱和圆锥都可以看做是圆台变化而成的几何体,有如下的关系: S圆柱表=2πr(r+l)S圆台表=π(r1l+r2l+

)S圆锥表=πr(r+l).

问题6:柱体的体积是V柱体=Sh(S为底面积,h为柱体的高).

问题7:

锥体的体积公式V锥体=Sh(S为底面积,h为锥体的高).

台体的体积公式V=

(S'+

+S)h, 其中S',S分别为上、下底面面积,h为圆台(棱台)高.

三、【例1】解析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为2

,正三棱柱的高为2,则底面等边三角形的边长为4,所以该正三棱柱的表面积为3×4×2+2×

×4×2

=24+8

.

答案:C

【例2】解:先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,交BC于点D.

因为BC=a,SD=

-

-

所以S△SBC=BC·SD=a×a=a2.

a, 因此,四面体S-ABC的表面积S=4×a2=

a2.

【例3】

(1)解析:因为圆锥的高被分成的三部分相等,所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3,于是自上而下三个圆锥的体积之比为(

r2h)∶[

(2r)2·2h]∶[

(3r)2·3h]=1∶8∶27,所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶(8-1)∶(27-8)=1∶7∶19.

答案:B 第

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(2)解析:中截面将三棱锥的高分成相等的两部分,所以截面与原底面的面积之比为1∶4,将三棱锥A-A1BC转化为三棱锥A1-ABC,这样三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A1-ABC的高相等,底面积之比为1∶4,于是其体积之比为1∶4.

答案:B 【例4】解:六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差,即V=

×122×6×10-3.14×(

)2×10≈2

956(mm3)=2.956(cm3).

所以螺帽的个数为5.8×1

000÷(7.8×2.956)≈252(个).

答:这堆螺帽大约有252个.

四、答案:1.A

2.A

3.A

4.

5.解:由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6,8的矩形,高为4的四棱锥,设底面矩形为ABCD,如图所示,AB=8,BC=6,高VO=4.

(1)V=

×(8×6)×4=64.

(2)已知四棱锥侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形, 在△VBC中,BC边上的高为h1=

在△VAB中,AB边上的高为h2=

=4

,

=5.

所以此几何体的侧面积S=2(×6×4

×8×5)=40+24

.

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