3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优质课教案

3.1.1

直线的倾斜角与斜率

明目标、知重点

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性；3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.

1.倾斜角的概念和范围

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°. 2.斜率的概念及斜率公式

倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即定义

k＝tan α

当α＝0°时，k＝0；当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0；当α＝90°时，取值范围

斜率不存在

过两点的

直线的斜

率公式

y2－y1直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x≠x) x2－x112

[情境导学]

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？为了用代数方法研究直线的有关问题，本节首先探索确定直线位置的几何要素——倾斜角与斜率. 探究点一

直线的倾斜角及斜率的概念

思考1

我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，过一点P可以作无数条直线，它们都经过点P，这些直线区别在哪里呢？

答

区别是它们的倾斜程度不同. 思考2

怎样描述直线的倾斜程度呢？

答

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的

角α叫做直线l的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α＝0°. 思考3

依据倾斜角的定义，得出倾斜角α的取值范围是什么吗？任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？

答

0°≤α<180°. 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的. 小结

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α.由此可知，一条直线l的倾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在，倾斜角是90°的直线没有斜率. 例1

已知直线l向上方向与y轴正向所在的角为30°，则直线l的倾斜角为

. 答案

60°或120°

解析

有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.

②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 反思与感悟

(1)由已知角推断倾斜角，常画出图形，借助图形来解决，注意画图时要考虑出现的各种情况. (2)斜率或倾斜角之间的大小比较要根据k＝tan α，在0°≤α<90°及90°<α<180°的增减性来判断. 跟踪训练1

已知直线l的倾斜角为β－15°，则下列结论中正确的是(

) A.0°≤β<180°

C.15°≤β<180°

答案

D 解析

因为直线l的倾斜角为β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°. B.15°<β<180°

D.15°≤β<195°

探究点二

直线的斜率公式

思考1

如下图1、图2，任给直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)，过点P1作x

轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于Q，那么Q点的坐标

是什么？设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°)，那么Rt△P1P2Q中，哪一个角等于α？

图1

图2 答

图1中Q点的坐标为(x2，y1).图2中Q点的坐标为(x2，y1).

如图1，当α为锐角时，α＝∠QP1P2，如图2，当α为钝角时，α＝180°－∠QP1P2. 思考2

根据斜率的定义，通过构造直角三角形推算出斜率公式是什么？

答

当α为锐角时，如图1，在Rt△P1P2Q中，tan α＝|QP2|y2－y1＝. |P1Q|x2－x1当α为钝角时，如图2，α＝180°－∠QP1P2＝θ(设∠QP1P2＝θ)，tan α＝tan(180°－θ)＝－tan θ. y2－y1y2－y1|QP2|y2－y1在Rt△P1P2Q中，tan θ＝＝＝－，于是可得：tan α＝. |P1Q|x1－x2x2－x1x2－x1y2－y1思考3

当P2P1的方向向上时，tan α＝成立吗？为什么？当直线P1P2与x轴平行或重x2－x1合时，上述式子还成立吗？为什么？

答

仍然成立.因为当P2P1的方向向上时，可以把P2点看成当P1P2的方向向上时的点P1，y1－y2y2－y1把P1看成当P1P2的方向向上时的点P2，把它们的坐标代入后为：tan α＝＝. x1－x2x2－x1成立.因为当直线P1P2与x轴平行或重合时，α＝0°，tan α＝0，而此时P1，P2两点的纵坐标y1－y10相等，tan α＝＝＝0. x2－x1x2－x1y2－y1小结

经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝. x2－x1例2

如图，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

解

直线AB的斜率kAB＝直线BC的斜率kBC＝1－21＝；

－4－37－1－11＝－；

20－－4

－1－2直线CA的斜率kCA＝＝1. 0－3由kAB>0及kCA>0知，

直线AB与CA的倾斜角均为锐角；

由kBC<0知，直线BC的倾斜角为钝角. 反思与感悟

应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解. 跟踪训练2

经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的范围是

(其中m≥1). 答案

0°<α≤90°

解析

当m＝1时，

直线与x轴垂直，

此时斜率不存在，倾斜角为90°. y1－y23－21当m>1时，直线的斜率为k＝＝＝，

x1－x2m－1m－1因为m>1，所以k>0，

故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°. 综上可知：

直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°. 例3

在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线l1，l2，l3及l4. y－0解

设直线l1上的另一个点A1的坐标为(x，y)，根据斜率公式有1＝，

x－0所以x＝y，可令x＝1，则y＝1，于是点A1的坐标为(1,1).此时过原点和点A1(1,1)可作直线l1，如图所示.同理，l2是过原点及A2(1，－1)的直线，l3是过原点及A3(1,2)的直线，l4是过原点及A4(1，－3)的直线.可作直线l2，l3，及l4.

反思与感悟

已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通

过斜率求出另一定点. 跟踪训练3

已知点P(－3，1)，点Q在y轴上，直线PQ的倾斜角为120°，则点Q的坐标为

. 答案

(0，－2) 解析

因为点Q在y轴上，

则可设其坐标为(0，b). 直线PQ的斜率k＝tan 120°＝－3，

b－1∴k＝＝－3，

0－－3∴b＝－2，即点Q的坐标为(0，－2).

1.对于下列命题：

①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；

②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；

④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角. 其中正确命题的个数是(

) A.1

C.3

答案

C 解析

①②③正确. 2.若经过P(－2，m)和Q(m,4)的直线的斜率为1，则m等于(

) A.1

C.1或3

答案

A 解析

由题意，得kPQ＝4－m＝1，解得m＝1. m＋2B.4 D.1或4 B.2

D.4 3.若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为

. 答案

45°或135°

解析

由|k|＝|tan α|＝1，知：k＝tan α＝1或k＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝

45°或135°. 4.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. (1)(1,1)，(2,4)；(2)(－3,5)，(0,2)；

(3)(2,3)，(2,5)；(4)(3，－2)，(6，－2). 4－1解

(1)k＝＝3>0，所以倾斜角是锐角；

2－12－5(2)k＝＝－1<0，所以倾斜角是钝角；

0－－3(3)由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；

－2－－2(4)k＝＝0，所以倾斜角为0°. 6－3[呈重点、现规律]

1.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：

直线情况

平行于x轴

0°<α<90°

k>0

k随α的增大而

垂直于x轴

90°

不存在

90°<α<180°

k<0

k随α的增大而

增大

α的大小

k的范围

k的增减情况

0°

0

增大

2.用斜率公式解决三点共线问题