习题2.4含PPT的教学设计及点评

抛物线焦点弦性质探究

昆明第十二中学

代盈

课标分析：

全日制普通高级中学《数学教学大纲》第22页“重视现代教育技术的运用”中明确提出：在数学教学过程中，应有意识地利用计算机网络等现代信息技术，认识计算机的智能图形、快速计算、机器证明、自动求解及人机交互等功能在数学教学中的巨大潜力，努力探索在现代信息技术支持下的教学方法、教学模式。设计和组织能吸引学生积极参与的数学活动，支持和鼓励学生运用信息技术学习数学、开展课题研究，改进学习方式，提高学生的自主学习能力和创新意识。因此，在高中阶段，尝试让学生学习《几何画板》在数学中的应用是培养学生数学核心素养的一个较好的途径。

教材分析：

“抛物线焦点的性质”是抛物线的重要性质之一，它是在学生学习抛物线的一般性质的基础上，学习和研究的抛物线有关问题的基本工具之一，其核心是抛物线定义的应用；本节教材对于培养学生观察、猜想、概括能力和逻辑推理能力具有重要的意义。在现行高中新教材选修2-1抛物线这一节内容为背景材料，以多媒体网络教室为场地，以《几何画板》为教学工具与学习工具，设计了一堂《抛物线焦点弦性质探究》。

学情分析：

学生刚学完教材中抛物线的定义与例题，对于焦点弦的理解仅有教材中的例题与习题给出的结论，进一步研究还未深入。此外，学生对《几何画板》的操作，还未独立运用，因此，教学中通过教师示范，学生动手体验学习并思考证明是设计的主线，利用小组合作的形式，有利于学生之间的互相学习与交流，发挥每个学生的优势。针对学生对《几何画板》的应用处于初期，故教学中设计了探究的两种方案供学生选择，并给出操作指南，为学生的探究提供更好的引导。

教学目标：

利用现代信息技术进行数学实验探究活动，让学生对抛物线焦点弦相关性质进行探究归纳，启迪思维，体会从定义出发利用数形结合的思想解决问题并感悟知识的生成源头和发展过程，通过数学实验活动，感受探索、合作的乐趣并从中获得成功的体验。培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力以及锲而不舍的个性品质。

教学重点：

利用现代信息技术进行数学实验引导学生探究抛物线焦点弦的性质。

教学难点：

如何探索、发现抛物线焦点的性质并证明。

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教学地点：

现代信息技术数学实验室。

教学方法：

探究、交流合作式。

教学过程：

一、引入：

展示：2016年全国新课标第三卷20题，由此引出本节学习课题。

二、温故

y 1、复习抛物线的定义（教师动画演示）

2、如图：若KFpp0，抛物线的方程为

焦点坐标为

，准线方程为

，

若Px0,y0，焦半径PF=

. 3、若AB是过抛物线y2px(p0)焦点F的弦，

2P'P'P x K O F A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦AB的长为________

（用A，B两点的坐标表示），通径长为

，x1x2=_______，y1y2=

。

抛物线焦点弦除了以上性质外，还有其它性质，本节课我们借助几何画板来进行抛物线焦点弦的性质探究。

三、探究

探究一、以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系探究

1、教师利用几何画板演示

1）当AB为通径时，以AB为直径作圆的过程，请同学观察圆与准线的位置关系并得出结论：当AB为通径时，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

2）教师请同学进行口头证明。

2、当AB为非通径的焦点弦，这个结论是否成立？

1）请同学利用几何画板进行作图观察，并得出相应的结论。

2）对学生探究结果进行成果展示。

3）请同学以小组形式对所得结果进行证明，讲评。

（学生可能不知如何探索，可利用计算机进行实验，教师给出作图步骤提示，学生考虑，教师巡视，必要时作点拨，圆与直线的位置关系，可以考虑圆心到直线的距离与圆半径的关系）。

结论: 以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切

探究二、以焦半径AF为直径的圆的特征探究

1、教师利用几何画板演示以AF为直径画圆的过程，请同学利用教师画出的图形进行动态观察，当焦点弦变化时，圆有何不变性。

1）请同学利用几何画板进行动态探究，并得出相应的结论。

2

2）对学生探究结果进行成果展示。

3）请同学以小组形式对所得结果进行证明。

结论:以焦半径AF为直径的圆与y轴相切

2、你能通过观察猜想出动圆的圆心轨迹吗？

1）请同学利用几何画板进行动态探究，并得出相应猜想的结论。

2）教师作出轨迹

3）请同学以小组形式对所得结果进行证明。

结论:

以焦半径AF为直径的圆的圆心轨迹是抛物线

探究三、以焦点弦两端点在准线上的投影为直径的圆的相关结论探究

教师请学生打开探究三的课件，进行动态观察当焦点弦变化时，圆有何不变性。

1）请同学利用几何画板进行动态探究，并得出相应的结论。

2）对学生探究结果进行成果展示。

3）请同学以小组形式对所得结果进行证明讨论。

结论:以焦点弦两端点在准线上的投影为直径的圆与焦点弦相切于焦点

注：对于探究三的证明有学生课后完成，课堂上完成探究活动。

四、教学小结

本节课主要研究了

（1）利用抛物线中以焦点弦为一腰的“特征直角梯形”探究焦点弦的性质；

（2）万变不离其宗，解决问题的关键仍然是抛物线定义；

（3）数学思想方法(如:分类讨论，数形结合，由特殊至一般)的应用。

（4）学习了如何借助现代信息技术探求数学问题。

五、作业

请完成探究三的证明,在不增加条件，但可以设交点及连线的前提下，探索在以下几个方面的有关性质：（1）相等的数量关系；（2）不变位置关系；（3）最值。完成一篇数学小论文。

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