3.4 生活中的优化问题举例教案板书设计

生活中的优化问题

教学目标：

1.要熟练掌握应用导数法求基本初等函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. 2.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(x)，根据实际问题确定函数yf(x)的定义域；

重点：求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去。

难点：在实际问题中，有f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。

教学方法：尝试性教学

一、

导学

(1)、求最值的方法；

(2)、掌握解应用题的一般步骤；

(3)、函数建模解模的方法步骤；

二、简单应用： 1、函数y2x4x2x0的值域是

13x5x在区间[2，6]上的最大值是_____ 32、函数f(x)2x3、函数f(x)2x10x[1,2]x2x32x[2,1)的值域是_________ 三、探究：

4、用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如下图),

问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

（1）读题：把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件

的关系因为焊接而成的容器为长方体，所以求容器的容积最大即为求长

方体的体积最大，而长方体的高x满足0

（2）建模：

设容器的高为xcm,，容器的体积为V(x)cm3，则

V(x)=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x

(0

（3）求解：

∵V'(x)=12 x2-552x+4320

由V'(x)=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 (舍去）

当

00, 那么V(x)为增函数；

当10

所以,在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，

其最大值为V(10)=1960（cm3）

答：当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积是1960（cm3）

利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成。函数的最值要由极值和端点的函数值确定。当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值。

5、某公司生产一种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，12400xx(0x400)已知总收益满足函数R（x）＝,其中x是仪器的月产量．

2

(x400)80000（1）将利润表示为当月产量的函数f（x）; （2）求每月生产多少台仪器时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）

（1）设月产量为x台，则总成本为20000＋100x,从而

12 (0x400)x300x20000f（x）＝2

 (x400)60000100x （2）当0≤x≤400时，f（x）＝－12x2＋300x－20000＝－12

（x－300）2＋25000 ∴当x＝300时，［（fx）］（fx）为减函数．∴（fx）<60000－100×400<25000 max＝25000,

当x>400时，∴当x＝300时，［f（x）］max＝25000，

答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．

6、如图，在教室中一个角落竖直放入一块长b,宽a(b>a)的木板围成一个卫生角，,如何摆放木板使的它与教室竖直角为围成的这个体积最大？

四、总结

（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量转化为数学问题，列出适当的函数关系式（2）求y与自变量x，把实际问题yfx，并确定函数的定义区间；

关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

f'x，解方程f'x0，得出所有实数根；

（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，

根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。

五、反馈

7、东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应提高租金（

）

A．4元

B、6元

C、4元或6元

D、8元

8、某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。

（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；

（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本）

9、某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。

（1） 设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；

y

（2） 如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由

C E A x D B