习题2.3课堂实录【3】

专题探究：抛物线焦点弦的性质（第一课时）

数学教科室：杜祥

一、学情分析：

本节课内容是在学生已经学习并了解了圆锥曲线标准方程和简单几何性质的基础上展开教学的，主要通过类比方法研究抛物线焦点弦的简单性质和常用的重要结论，尤其注重类比归纳下形成的一般思路，使学生在研究归纳的基础上熟练运用数形结合、转化思想、函数与方程思想等数学思想解决数学问题，这对学生掌握抛物线以及圆锥曲线综合知识都非常重要。

二、教学目标

1.知识与技能：能根据简单的结论自主归纳和总结其他重要性质，类比探究焦点弦问题引起的定点定值以及共线问题；

2.过程与方法：通过问题的提出与解决，培养学生发现问题、探索问题并解决问题的能力，领悟数学问题中的数学思想和数学方法；

3.情感态度价值观：通过主动探究、合作学习、交流讨论，体会数学学习收获的喜悦和数学应用的美感，激发学生学习数学的兴趣，拓展学生的数学思维和视野。

三、重难点突破

通过焦点弦产生的定值问题探究抛物线中其他的重要结论

四、教学过程

1.课前回顾：

p焦半径：抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F,0的距离2pp（其中为直线AB的倾斜角）

21cos焦点弦：过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点，则称线段AB为抛物线的焦点弦. 2pp弦长ABx1x2p2x0（其中为直线AB的倾斜角）弦长最2sin2短为2p，此时的弦又叫通径；

2.

性质探究：如图，设抛物线方程为y22pxp0，Ax1,y1,Bx2,y2在抛PFx0物线上，F是焦点，M为线段AB的中点Mx0,y0，A',B',M'分别为A,B,M在准线l上的射影，准线与x轴交于点N，则：

A'性质一：与焦点弦有关的定值

p2（1）x1x2；y1y2p2；

M'4

思路分析：交轨法求交点坐标，联立解析式得到一元二次方程，B'根据韦达定理可得.

1 yAMOFBxl

类比探究1：若直线经过抛物线y22pxp0对称轴上一点QP,0，与抛物线交于Ax1,y1,Bx2,y2两点，则x1x22p2,y1y22p2

2例1：线段AB为抛物线y2pxp0的弦，若坐标原点在以AB为直径的圆上

求证：直线AB恒过定点2p,0，反之也成立；

思路分析：转化思想的应用，O点在圆上，则OAOB

（2）变式探究2：焦点F将焦点弦AB分成AF,BF两段，则这两焦半径之间有

112；

AFBFppp,BF思路一：AF

1cos1cos

pp思路二：AFx1,BFx2，

2211x1x2pxxp2212

ppppppAFBFx1x2x1x222422思路分析：（1）焦半径公式；（2）结合焦点弦的定值结论. 例2.线段AB是过抛物线y22x焦点F的弦，若AF3，试求值. 分析：SAOF:SBOF

的SAOFSBOF1OFyAyAF

2A1yBBFOFyB2

思路分析：面积比转化为焦点弦的比，再应用定值求出焦半径BF.

性质二：与焦点弦有关的斜率问题

（3）小组探究3：试探究A,O,B'三点的位置关系

大胆猜测——几何直观

逻辑论证——代数推理

2

思路：kOAy1y12py22y2y1y2p22p22，kOBkOBkOApy1x1y1ppy122p

结论：三点共线

（4）探究活动4：试说明对称轴与∠ANB的关系。

思路分析：探索FN平分∠ANB，即证kANkBN0

要证明kANkBN0

y1y2即证0

ppx1x222pp即证y1(x2)y2(x1)0

222y2py12pAx1,y1,Bx2,y2在抛物线上，即证y1()y2()0

2p22p2即证y1y2y1y2py1y20

2p2p2即证y1y2py1y20

2p2显然成立，得证x轴平分∠ANB（N为准线与x轴交点）

结论归纳：x轴平分∠ANB.（N为准线与x轴交点）

例3.如图所示，直线AB过（2,0）与抛物线y28x交于A，B两点，N(-2，0),圆C：x4y2r2

，直线AN与圆2C相切，证明：直线BN与圆C相切.

3

思考与猜想：请根据以上性质判断，在双曲线和椭圆中，若A，B为过焦点F的直线与曲线的交点，是否存在这样的点N，使得∠ANF=∠BNF？

五.牛刀小试

1.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝___________

2.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为_______________

1

3.已知抛物线xy2上有两点P、Q，若P点的横坐标为2，则点P到焦点的距离为12_______；若Q点到焦点的距离为9，则Q点的坐标为______．

4.过抛物线y24x的焦点F作直线交抛物线于点A(x1，若x1x24，B(x2，y2)，y1)，则AB_______，AB的中点M到抛物线准线的距离为__________．

六.课堂小结与归纳

通过以上探究和实例，可以发现“焦点弦”问题是有很多规律的；

（1）定值：坐标定值、焦半径倒数和定值

（2）活用抛物线的定义，转化思想的应用，共线问题、点到直线的距离问题都可以向直线的斜率方向转化；

（3）类比学习与探究，圆锥曲线中，很多性质或结论之间都是十分相似的，或者可以根据这些相似总结出一般性、概括性结论.这也正是解析几何中迷人的地方！

七.板书设计

抛物线焦点弦的性质（第一课时）

3.焦半径倒数和的定值公式

1.

课前回顾

焦半径：

4.三点共线

焦点弦：

2.

课题探究

5.x轴平分∠ANB 两个定值公式

变式与拓展：

6.例题解析

4