2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系主要内容及教案内容

人教版高一数学

课题：空间中直线与直线之间的位置关系

授课时间

11月26日

授课班级

高一（6）班

授课教师

叶丹

一、教材分析

本节课是人教版必修二的第二章第二课时，之前已学习了空间几何体及了解平面的概念和表示，本课时将初中学***面中的两直线位置关系拓展到空间,并探讨空间中两异面直线的成角。

二、学情分析

经过两个多月的磨合，所任教班级的学生在数学课堂上还是较活跃的，参与课堂的积极性较高，但注意力集中时间不稳定，听课效率还有待提高，解题的习惯也有待改进，且有超过一半的学生数学基础偏弱。本课将要求学生充分利用正方体,通过画线、观察，训练空间想象能力，学会将空间的问题转化为平面问题来解. 三、教学目标：

（一）知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

（二）过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合； （2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

（三）情感、态度与价值观

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

四、教学重点和难点：

1.教学重点：理解空间中两直线的位置关系，公理4，等角定理及异面直线所成的角，并掌握依据定义、定理对空间图形进行推理论证、计算的方法．

2.教学难点：异面直线及其所成的角的求解，空间图形问题转化为平面图形问题的思想方法．

五、教学方法：引导、探究

六、教学用具：多媒体

七、教学过程：

教学设计与过程

设计思想

注重初高中知识的衔接,由初中已学的线线位置关系拓展到空间

（一）温故知新：

在初中，我们已经学***面内的两

直线的位置关系： ，还学习了一些

平行线的相关定理：

①

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线

平行，那么这两条直线 。

②

在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线

垂直，那么这两条直线 。

③

在同一平面内，如果两条直线和第三条直线

1

所成的同位角相等，那么这两条直线 。

通过本课的学习，我们将探讨这些定理拓展到空间是否成立？

（二）展示新知

观察：

如图，长方体ABCDABCD中，

D'C'A'B'DC

由两直线既不平行又不相交，推出异面棱BC'所在直线与棱AA'所在

的定义

直线的位置关系如何？

1、异面直线

（1）定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

（2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．

2．空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种

异面直线的判定方法：

强调异面直线的定①定义法：判断两直线不可能在同一平面内．

义，并注意归纳寻找②反证法：判断两直线既不平行也不相交．

异面直线的方法

③判定异面直线的常用结论：过平面外一点和平面内一点

的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线．

思考：

（1）如果空间中两条直线没有公共点，那么这两条直线

的位置关系是 .

（2）在空间中如果两条直线都和第三条直线平行，那么这

两条直线还平行吗?

（3）在空间中如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这

两条直线还平行吗?

3.平行公理(公理4)：

文字表述：平行于同一条直线的两条直线

．

这一性质叫做空间平行线的传递性．

由平面的直线相关a∥b定理推广到空间,使⇒ . 符号表述：b∥c得公理4和等角定[例1]如图，在正方体ABCDABCD中, 理的出现更合情理. 判断下列直线的位置关系：

（１）直线AA和直线CC的位置关系

是

．

（２）直线AA和直线CD的位置关系

利用几何画板凸显是

．

线和面, （３）直线AA和直线AC的位置关系是

．

更易培养学生的空（４）直线AB和直线BC的位置关系是

．

间想象能力

变式一：

变式一由学生利用如图，正方体ABCDABCD中,有

图寻找直线

条棱所在的直线与直线AA异面。

问：在同一个平面中，两个角的两边分别对应平行，

AB

2

则这两角 。

这个性质推广到空间仍然成立吗? 观察：底面为平行四边形的四棱柱ABCDABCD中，

ADC与ADC，ADC与BAD的两边分别

对应平行，那么这两组角的大小关系如何？

4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，

那么这两个角相等或互补。

5．异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作

直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的

(或

) 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角θ的取值范围：

．

(3)当θ＝90时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 【例2】如图，在正方体ABCDABCD中，

0AA和直线CD所成角的度数为

．

（２）直线AA和直线BC所成角的度数为

．

（３）直线AB和直线BC所成角的度数为

．

（１）直线变式一：

哪些棱所在直线与直线变式二：

在正方体AA垂直？

ABCDABCD中，

E、F、G、H分别为AA、AB、BB、BC

的中点，则异面直线EF与GH所成角的度数为

. 拓展训练: A是△BCD平面外的一点，E，F分别

是BC，AD 的中点．若AC⊥BD，AC＝BD，

求

EF 与

BD 所成的角的度数．

(三)反思小结: 平面中的直线相关定理哪些可以拓展到空间？

你学到了哪些数学方法？

（四）作业：

课时训练（九）（其中12-15题的图要求画在题边）

异面直线成角的平移方法多样，可让学生大胆尝试，并注意强调将空间成角转化为平面成角的方法

变式一二由学生独立完成,通过做平行线寻找异面直线成角

本题重在训练学生的空间想象能力,合理平移直线找到所成角,难度有所提高

强调学生画图能力的训练

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