2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计和教学实录

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2.1.4

空间中平面与平面之间的位置关系

1．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点) 2．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)

[基础·初探] 教材整理1

直线与平面的位置关系

阅读教材P48～P49的内容，完成下列问题．

位置直线a在平面α直线a与平面α相交

有且只有一个公共点

a∩α＝A 直线a与平面α平行

没有公共点

关系

内

公共点

符号表示

图形表示

有无数个公共点

a⊂α

a∥α

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线与平面不相交，则直线与平面平行．(

) (2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行．(

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(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．(

) (4)过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．(

) 【解析】

(1)错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，故(1)错．

(2)错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故(2)错．

(3)错误．由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故(3)错．

(4)错误．过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故(4)错．

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

教材整理2

平面与平面的位置关系

阅读教材P50“探究”以上的内容，完成下列问题．

位置关系

两平面平行

图示

表示法

α∥β

公共点个数

0个

两平面相交

α∩β＝l 无数个点(共线)

三棱锥的四个面中，任两个面的位置关系是(

) A．相交

C．异面

B．平行

D．不确定

【解析】

三棱锥的任两个面都相交，选A. 【答案】

A

[小组合作型]

直线与平面的位置关系

下列说法正确的是(

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A．如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面

B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线

C．如果直线a、b满足a∥α，b∥α，则a∥b

D．如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α

【精彩点拨】

解答本题要牢牢地抓住直线和平面三种位置关系的特征，结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断．

【自主解答】

如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，

AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面AB′内，

故选项A不正确；

AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，

故选项B不正确；

AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，

但AA′与A′D′相交，

所以选项C不正确；

选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，

所以a与α相交，这与a∥α矛盾，

故b∥α，即选项D正确．故选D. 【答案】

D

空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.

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[再练一题] 1．下列说法中，正确的个数是(

) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；

③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行.

A．0

C．2 B．1 D．3 【解析】

易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C. 【答案】

C [探究共研型]

平面与平面的位置关系

探究1

如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？

【提示】

如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．

探究2

若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？

【提示】

因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．

探究3

平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？

【提示】

不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.

已知下列说法：

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①两平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；

④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．

【精彩点拨】

由平面间的位置关系逐一判断．

【自主解答】

①错．a与b也可能异面．

②错．a与b也可能平行．

③对．∵α∥β，∴α与β无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点．

④对．由已知及③知：a与b无公共点，

那么a∥b或a与b异面．

⑤错．a与β也可能平行．

【答案】

③④

1．仔细分析题目条件，将符号语言或自然语言转化为图形语言，通过图形借助定义确定两平面的位置关系．

2．线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现，所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系．

[再练一题] 2．如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系是(

) A．平行

C．平行或相交

B．相交

D．既不平行也不相交

【解析】

如果两平面的直线互相平行，可以有以下两种情况：

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【答案】

C

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

【解析】

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

【答案】

D 2．如图2-1-23所示，用符号语言可表示为(

)

图2-1-23 A．α∩β＝l

B．α∥β，l∈α

C．l∥β，l⊄α

D．α∥β，l⊂α

D

[显然题干图中α∥β，且l⊂α.] 3．如图2-1-24，在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系：

图2-1-24 (1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．

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(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

【解析】

(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．

(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．

【答案】

(1)平行

(2)相交

4．a，b，c是三条直线，α，β是两个平面，如果a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β那么平面α与平面β的位置关系是__________．

平行或相交

[由正方体模型易知α∥β或α与β相交．] 5．作出下列各题的图形．

(1)画直线a，b，使a∩α＝A，b∥α. (2)画平面α，β，γ，使α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n.

【解】

如图所示：

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