3.2.2 直线的两点式方程板书设计

3.2.2

直线的两点式方程

教学目标：

1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围. 2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围. 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标. 教学过程：

（一）新知讲授

知识点一

直线的两点式方程

1.直线的两点式方程的定义

y－y1x－x1＝就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把y2－y1x2－x1它叫做直线的两点式方程，简称两点式. 2.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：

y＋yy＝2.12x1＋x2x＝，2

思考

若直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足x1＝x2或y1＝y2时，直线l的方程是什么？

答

当x1＝x2时，直线l平行于y轴，此时的直线方程为x－x1＝0或x＝x1；当y1＝y2时，直线l平行于x轴，此时的直线方程为y－y1＝0或y＝y1. 知识点二

直线的截距式方程

xy1.直线l与x轴交点A(a,0)，与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则得直线方程＋＝1，ab叫做直线的截距式方程. 2.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则y＋yy＝21x1＋x2x＝22

. 思考

截距式方程能否表示过原点的直线？

答

不能.因为ab≠0，即有两个非零截距. 课堂引入:

已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程

(方程思想)

其他方法?(斜截式方程引入) （二）题型探究

题型一

直线的两点式方程

例1

已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC边的方程；

(2)求BC边上的中线所在直线的方程. 解

(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，

y－－4x－5∴由两点式得＝，

－2－－40－5即2x＋5y＋10＝0. 故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5). (2)设BC的中点为M(x0，y0)，

5＋05－4＋－2则x0＝＝，y0＝＝－3. 2225，－3，

∴M2又BC边上的中线经过点A(－3,2). y－2x－－3∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0. －3－25－－32故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 题型二

直线的截距式方程

例2

求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程. 解

设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b. xy①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. ab4－3∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，

ab若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0. 若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0. ②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，

∴直线的方程为3x＋4y＝0. 综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0. 反思与感悟

1.当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解. 2.选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.

跟踪训练2

(1)求在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程；

(2)求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解

(1)根据直线方程的截距式，得

xy直线方程为＋＝1，

－34化简得4x－3y＋12＝0. xy(2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. a－a34又因为l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. a－axy所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. －114当直线l在坐标轴上截距互为相反数且为0时，直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 3综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 例3

求过点A(4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程. 分析

直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，应考虑直线过原点和不过原点两类，分别设出方程，再由直线l过点(4,2)求得直线方程. 解

当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是0，满足题意. 11此时，直线的斜率为，所以直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0. 22xy当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1. ab42又因为过点A，所以＋＝1.

①

ab因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，

所以|a|＝|b|.

②

由①②联立方程组，

a＝6，a＝2，解得或

b＝6b＝－2.

xyxy所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，

662－2化简得直线l的方程为x＋y＝6或x－y＝2，

即直线l的方程为x＋y－6＝0或x－y－2＝0，

综上，直线l的方程为x－2y＝0 x＋y－6＝0，

x－y－2＝0. 解后反思

截距式方程不能表示过原点的直线，因而在未明确截距与0的关系时，要分截距

为0和不为0两大类来讨论.另外截距有正有负，求解问题时要注意. （三）当堂练习

1.已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是(

) A.2x－3y＝4

C.3x－2y＝4

答案

A 解析

∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上.同理(x2，y2)也在直线2x－3y＝4上.由两点确定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3y＝4. 2.过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为(

) A.4x－5y＋13＝0

C.5x＋4y＋5＝0

答案

B y－1x－－2y－1x＋2解析

∵直线过点(－2,1)和(3，－3)，∴＝，∴＝，化简得4x＋5y5－3－13－－2－4＋3＝0. 3.过点(5,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是(

) A.2x＋y－12＝0 B.2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 答案

D 2解析

当y轴上截距b＝0时，设直线方程为y＝kx.将点(5,2)代入，得y＝x，即2x－5y＝0.5xy529当b≠0时，设直线方程为＋＝1，将点(5,2)代入，得＋＝1，解得b＝，即直线方程2bb2bb2xy为＋＝1.整理，得x＋2y－9＝0.故选D. 9924.下列四个结论：

y－2①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；

x＋1②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1；

③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1；

④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号) B.4x＋5y＋3＝0 D.5x－4y＋8＝0 B.2x－3y＝0 D.3x－2y＝0

答案

②③

解析

①中两个方程的定义域不同；④中倾斜角为90°的直线没有点斜式方程，也没有截距式方程，倾斜角为0°的直线没有截距式方程. （四）课堂小结

(1)点斜式

(2)斜截式

y=k x+b yy0kxx0

(3)两点式

(4)截距式

yy1yyxx1x(x1x2,y1y2)21x21xyab1