1.2.3 空间几何体的直观图教学实录及点评

1.2.3

空间几何体的直观图

●三维目标

1．知识与技能

(1)会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图．

(2)会画简单空间几何组合体的直观图．

2．过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．

3．情感、态度与价值观

(1)提高空间想象力与直观感受．

(2)体会对比在学习中的作用．

(3)感受几何作图在生产活动中的应用．

●重点难点

重点：水平放置的平面图形直观图画法．

难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．

重难点突破：以学生熟知的水平放置的平面图形的直观图为切入点，先让学生观察直观图与平面图的区别与联系，发现共同点，总结规律，教师适时点拨，引导学生切实理解“斜”和“二测”的含义，并通过典例训练加深对直观图画法的理解，重点得以突破．

在此基础上，通过正方体直观图的画法，总结用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤，在此过程中让学生体会平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别，难点得以化解．

【课前自主导学】

1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点) 课标解读

2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)

3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换．(易错点)

【问题导思】

1．边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

斜二测画法

1【提示】

A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝2AD. 2．正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

【提示】

没有都画成正方形．

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

2．立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法. 【课堂互动探究】

水平放置的平面图形的直观图的画法

画出如图1－2－18所示水平放置的等腰梯形的直观图．

图1－2－18 【思路探究】

建系依据斜二测画法,定点―→连线成图

【自主解答】

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，

AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. 1

(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝2OE，

以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

1．本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行．

2．画水平放置的平面图形的直观图的技巧：

(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．

(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．

把本例“图1－2－18”换成“图1－2－19”，试画出该图的直观图．

图1－2－19 【解】

(1)在已知的直角梯形ABCD中，以底边AB所在直线为x轴，垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图(1)．

1(2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上取O′B′＝AB，在y′轴上取O′D′＝2AD，过D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.如图(2)．

(3)连接B′C′，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形ABCD的直观图．如图(3)．

空间几何体的直观图的画法

如图1－2－20是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．

图1－2－20 【思路探究】

三视图→六棱台→画轴→画底面→画顶点→成图

【自主解答】

画法：(1)画轴．

如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画两底面．由三视图知该几何体是底面为正六边形的六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.

(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.

1．画空间几何体的直观图的四个步骤

(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．

(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面．

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．

(4)连线成图．

2．利用斜二测法画空间几何体的直观图应遵循的原则

(1)画空间几何体的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．

(2)画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．

(3)画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．

画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm) 【解】

画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.

(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF. (3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm. (4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图.

由直观图还原平面图形

如图1－2－21，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．

图1－2－21 【思路探究】

解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作，先确定点，再连线画出原图．

【自主解答】

画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.

(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.

1．解答本题过程中容易把OB或AB画成O′B′或A′B′的2倍而造成错误．

2．由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各

个顶点，顺次连接即可．

(2013·临沂高一检测)直观图(如图1－2－22)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.

图1－2－22 【解析】

由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，∴OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．

【答案】

矩形

8 【思想方法技巧】

由几何体的三视图画直观图

(12分)如图1－2－23所示，由下列几何体的三视图画出直观图．

图1－2－23 【思路点拨】

识别三视图画三视图的原则斜二测画法――→复原几何体――→直观图

【规范解答】

由三视图可知空间几何体是一个正五棱柱.2分

画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，

如图(1)所示.

4分

(2)画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.

7分

(3)画侧棱．过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高.

10分

(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图(2)所示，即得到三视图表示的几何体的直观图.

12分

【思维启迪】

1．三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：

(1)三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体．

(2)直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．

2．由三视图画出直观图，首先从三视图想象出实物的形状和大小，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图．

【课堂小结】

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．

【当堂达标检测】

1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是(

) A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，且长度不变

1B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的2

C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°

D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

【解析】

画直角坐标系对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以是45°也可以为135°. 【答案】

C 2．如图1－2－24所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是(

)

图1－2－24 A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．任意三角形

【解析】

∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．

【答案】

B 3．如图1－2－25，已知等腰三角形ABC，则后面所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是(

)

图1－2－25 A．①②

B．②③

C．②④

D．③④

【解析】

由斜二测画法可知，△ABC的直观图可能为③或④，故选D. 【答案】

D 4．画水平放置的直角三角形(如图1－2－26所示)的直观图．

图1－2－26 【解】

画法：

(1)以直角边OA所在直线为x轴，以直角边OB所在直线为y轴，建立坐标系(如图①)．

1(2)再画对应的x′轴与y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取O′A′＝OA，在y′轴上取O′B′＝2OB，连接A′B′(如图②)，整理去掉坐标轴(如图③)，则△O′A′B′就是直角三角形OAB的直观图．

【课后知能检测】

一、选择题

1．(2014·日照高一检测)长方形的直观图可能为下图中的哪一个(

)

A．①②

B．①②③

C．②⑤

D．③④⑤

【解析】

由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确．

【答案】

C

图1－2－27 2．利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图1－2－27所示)，则原图形的形状是(

)

【解析】

直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．

【答案】

A 3．下列叙述中，正确的个数为(

) ①相等的角，在直观图中仍相等；

②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；

③若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；

④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．

A．0

B．1

C．2

D．3 【解析】

正方形的平面图与直观图如图所示，由图可知①②④错误．

【答案】

B

4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶1 000的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(

) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D．2 cm,0.25 cm,1 cm,0.8 cm 【解析】

由比例尺可知长方体的长、宽、高和锥高分别为2 cm,0.5 cm,1 cm和0.8 cm，再结合直观图的画法可知，直观图中相应尺寸分别为2 cm,0.25 cm,1 cm和0.8 cm. 【答案】

D 5．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个边长为2的正三角形，那么原平面图形的面积是(

) 6A.3

B．26

C.4

D．23

【解析】

如图所示，过△O′B′C′的顶点C′，作C′D′∥y′轴，C′A′⊥x′轴，在△O′C′B′中易知C′A′＝3. 又在Rt△C′D′B′中，C′D′＝2C′A′＝6. 1故原平面图形的面积S＝2O′B′×2C′D′＝2×6＝26. 【答案】

B 二、填空题

6．(2014·绵阳高一检测)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

【解析】

由斜二测画法知△ABC中∠C＝90°，

AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，∴AB＝5，

5∴AB边上的中线的实际长度为2. 5【答案】

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