探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优秀公开课教案

祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积

教学设计

一、教材分析：

《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2003人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。

二、学情分析：

学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。

三、教学的重点、难点

（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究

（2）学生探究能力的培养

四、教学过程

1.教学思路

由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：

根

据

体积概念

祖暅原理

转

化

长方体的体积

柱的体积

三棱

柱

锥为

分解为

代表

锥

化为柱

锥之差

球的体积

锥的体积

2.案例设计

Ⅰ导入课题

回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）

Ⅱ探究新知

（1）祖暅原理的引入

通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础。

小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一

下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？

几何体的体积发生改变了吗？说明理由！

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。

（1）探究柱体的体积公式

如图，下面是底面积都等于S，，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式吗？

V长方体S底h从而我们可以得到所有柱体的体积是

V柱体S底h

（2）探究锥体的体积公式

如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅原理推导锥体的体积公式吗？

问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？

1

分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。

锥体的体积

1

1

V锥体S底h 3

CBACBA

（3）探究球的体积公式

实验步骤:将圆锥倒立放入圆柱

取出半球和新的几何体作它们的截面

问题:截面面积相等吗? 结论:截面面积相等,则两个几何体的体积相等. 1V球R2R1R2R23

4R3球的体积计算公式：

V球3

（4）课堂练习: （5）课堂小结：

知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了

柱体、锥体、球体的体积公式。

思维能力方面：体会到联想，类比，猜想证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用。