3.1.2 空间向量的数乘运算优质课教案设计

3.1.2

空间向量的数乘运算

课时目标

1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．

1．空间向量的数乘运算

(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．

(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．

分配律：______________；结合律：______________. 2．共线向量

(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．

(3)

方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．

3．共面向量

(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．

(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．

对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．

一、选择题

1．下列命题中正确的是(

) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面

C．零向量没有确定的方向

D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb

2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是(

) →→→→→→A. AB＋BC＝AC

B. AB－BC＝AC

→→→→C.AB＝BC

D.|AB|＝|BC| 3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，

→→且MG=2GN，则OG=xOA＋yOB＋zOC，则(

)

111A．x＝，y＝，z＝

333111B．x＝，y＝，z＝

336111C．x＝，y＝，z＝

663111D．x＝，y＝，z＝

6334．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是(

) →→A.

OM＝2OA－OB－OC

1→11→B.

OM＝OA＋OB＋OC

532→→C.

MA＋MB＋MC＝0

→→D.

OM＋OA＋OB＋OC＝0 →→5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A，D1C，A1C1是(

) A．有相同起点的向量

B．等长向量

C．共面向量

D．不共面向量

6．下列命题中是真命题的是(

) A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

→→→→→→→→C.若向量AB,CD，满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD

→→→→→→D.若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB∥CD

二、填空题

→7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB＋1→3→→BC－DE－AD的化简结果为________．

22→→8.在正四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中→点，则OE＝______________(用a，b，c表示)．

→→9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有OP＝2OA＝2OA＋→OB＋λOC，则λ＝________. 三、解答题

10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．

1→→2→(1)化简AA′＋BC＋AB；

23(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的→→→＝αAB＋βAD＋γAA′，试求α，β，γ的值．

3分点，设MN4

11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．

能力提升

12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝→→→a，

A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是(

) 1111A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

22221111C.a－b＋c

D．－a－b＋c

222213.如图所示，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1 对交线的交点，点P是空间任→→→→→→→→意一点.试探求PA＋PB＋PC＋PD＋PA1＋PB1＋PC1＋PD1与PO的关系．

1．向量共线的充要条件及其应用

(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．

(2)利用向量共线可以证明三点共线．

2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．

3．1.2

空间向量的数乘运算

知识梳理

1．(1)λa

相同

相反

|λ|

(2)λ(a＋b)＝λa＋λb

λ(μa)＝(λμ)a

2．(1)平行

重合

(2)存在实数λ，使a＝λb

→→(3) OP＝OA＋ta

3．(1)同一个平面

→→→(2)p＝xa＋yb

AP＝xAB＋yAC

→→→→OP＝OA＋xAB＋yAC

作业设计

1．C

[A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.] →→→2．C

[由AB＝BC知AB与BC共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．] →→→1→→3．D

[∵OG＝OM＋MG＝OA＋MG，①

2→→→→OG＝OC＋CN＋NG，②

→→→→OG＝OB＋BN＋NG，③

→→→→又BN＝－CN，MG＝－2NG，

→1→→→∴①＋②＋③，得3OG＝OA＋OB＋OC，

2111即x＝，y＝，z＝.] 633→→→→→→4．C

[∵MA＋MB＋MC＝0，∴MA＝－MB－MC. ∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]

5．C

[

→→→→→如图所示，因为D1C－D1A＝AC，而AC＝A1C 1，

→→→∴D1C－D1A＝A1C 1，

→→→即D1C＝D1A＋A1C 1，

→→→→→而D1A与A1C 1不共线，所以D1C，D1A，A1C 1三向量共面．] 6．D

[A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．

B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．

→→C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB>CD这种写法．

→→→→→→→→D对．∵AB＋CD＝0，∴AB＝－CD，∴AB与CD共线，故AB∥CD正确．] 7．0

解析

→3→如图，取BC的中点F，连结DF，则DF＝DE，

2→1→3→→→→→→→→→∴AB＋BC－DE－AD＝AB＋BF－DF＋DA＝AF＋FD＋DA＝0.

221118.a＋b＋c

244解析

→1→→如图，OE＝(OA＋OD) 21→11→→＝OA＋×(OB＋OC) 222111＝a＋b＋c. 2449．－2 解析

P与不共线三点A，B，C共面，

→→→→且OP＝xOA＋yOB＋zOC

(x，y，z∈R)，

则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．

10．解

(1)方法一

取AA′的中点为E，

1→→则AA'＝EA'. 2

→→→→又BC＝A'D'，AB＝D'C'，取F为D′C′的一个三等分点

2(D′F＝D′C′)，

3→2→则D'F＝AB. 31→→2→∴AA'＋BC＋AB

23→→→→＝EA'＋A'D'＋D'F＝EF. →2→方法二

取AB的三等分点P使得PB＝AB，

31→→2→取CC′的中点Q，则AA'＋BC＋AB

231→→2→→→→＝CC'＋BC＋AB＝CQ＋BC＋PB

23→→→→＝PB＋BC＋CQ＝PQ. (2)连结BD，则M为BD的中点，

→→→MN＝MB＋BN

1→3→＝DB＋BC'

241→→3→→＝(DA＋AB)＋(BC＋CC') 241→→3→→＝(－AD＋AB)＋(AD＋AA') 241→1→3→＝AB＋AD＋AA'. 244113∴α＝，β＝，γ＝. 244→1→→1→11．证明

∵NM＝BA，NP＝A1B1，

22→→→→∴BA＝2NM，A1B1＝2NP. →→→→又∵PQ＝PB＋BC＋CQ

1→→1→→＝BB1＋BC＋(CB1＋B1C 1) 221→→→1→→＝(B1C 1＋CB)＋BC＋(CB1＋B1C 1) 221→→＝(BC＋B1C 1)，①

2又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，

→→→→→→∴BC＝λBA＝2λNM，B1C 1＝ωA1B1＝2ωNP. →1→→代入①式，得PQ＝(2λNM＋2ωNP) 2→→＝λNM＋ωNP. →→→∴PQ，NM，NP共面．∴M，N，P，Q四点共面．

→→→→1→12．A

[B1M＝B1B＋BM＝A1A＋BD

2

1→→1→1→＝c＋(BA＋BC)＝－A1B1＋A1D1＋c

22211＝－a＋b＋c.] 2213．解

设E、E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，

→→→→→→→→于是有PA＋PB＋PC＋PD＝(PA＋PC)＋(PB＋PD) →→→＝2PE＋2PE＝4PE，

→→→→→同理可证：PA1＋PB1＋PC1＋PD1＝4PE1，

→→又因为平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，所以PE＋PE1＝2PO，

→→→→→→→→→→→→→所以PA＋PB＋PC＋PD＋PA1＋PB1＋PC1＋PD1＝4PE＋4PE1＝4(PE＋PE1)＝8PO.