小结教案教学设计导入整理

利用导数解不等式恒成立问题

教学重点：

1、掌握利用导数解不等式的思路

2、学会利用导数证明不等式的方法

学习目标：

1、克服畏惧心理，掌握导数与不等式恒成立问题的答题方法。

2、掌握基本运算技能，做到仔细、快速。

教学流程：

1＋ln x例：已知函数f(x)＝. x1(1)若函数f(x)在区间(a，a＋)上存在极值，求正实数a的取值范围；

2(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥k恒成立，求实数k的取值范围．

x＋1解

(1)函数的定义域为(0，＋∞)，

1－1－ln xln xf′(x)＝＝－2，

2xx令f′(x)＝0，得x＝1；

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

1所以x＝1为极大值点，所以0

211故

22x＋11＋ln x(2)当x≥1时，k≤恒成立，

xx＋11＋ln x令g(x)＝，

x11＋ln x＋1＋x－x＋11＋ln xxx－ln x则g′(x)＝＝. 2xx21再令h(x)＝x－ln x，则h′(x)＝1－≥0，

x所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)>0，

所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，

故k≤2.所以实数k的取值范围是(－∞，2]．

引申探究

k本例(2)中若改为：存在x0∈[1，e]，使不等式f(x)≥成立，求实数k的取值范围．

x＋1x＋11＋ln x解

当x∈[1，e]时，k≤有解，

xx＋11＋ln x令g(x)＝，由例3(2)解题知，

x2g(x)为单调增函数，∴g(x)max＝g(e)＝2＋，

e22∴k≤2＋，即实数k的取值范围是(－∞，2＋]．

ee思维升华

利用导数解决不等式的恒成立问题的策略

①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．

②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

【课堂训练1】

已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R. (1)当a＝－1时，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

解

(1)当a＝－1时，

f(x)＝x2ln x＋x2－1，f′(x)＝2xln x＋3x. 则曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝3. 又f(1)＝0，所以切线方程为3x－y－3＝0. (2)f′(x)＝2xln x＋(1－2a)x＝x(2ln x＋1－2a)，其中x≥1. 1当a≤时，因为x≥1，所以f′(x)≥0. 2所以函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增．

故f(x)≥f(1)＝0. a1当a>时，令f′(x)＝0，得x＝e2.

21若x∈[1,ea12],则f′(x)<0，

a12所以函数f(x)在[1,e所以当x∈[1,ea12)上单调递减，

)时，

f(x)≤f(1)＝0，不符合题意．

1综上，a的取值范围是(－∞，]．

2

【课堂训练2】

已知函数f(x)＝ex＋a，x∈R，曲线y＝f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx. (1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)当x∈R时，求证：f(x)≥xx；

(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求实数k的取值范围.

解答：

(1)解

根据题意，得f′(x)＝ex－2x，则f′(0)＝1＝b. 由切线方程可得切点坐标为(0,0)，将其代入y＝f(x)，

得a＝－1，故f(x)＝ex－x2－1. (2)证明

令g(x)＝f(x)＋x2－x＝ex－x－1. 由g′(x)＝ex－1＝0，得x＝0，

当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，y＝g(x)单调递减；

当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，y＝g(x)单调递增．

∴g(x)min＝g(0)＝0，∴f(x)≥－x2＋x. fx(3)解

f(x)>kx对任意的x∈(0，＋∞)恒成立等价于>k对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．

xxf′x－fxfx令φ(x)＝，x>0，得φ′(x)＝

xx2xex－2x－ex－x2－1x－1ex－x－1＝＝. x2x2由(2)可知，当x∈(0，＋∞)时，ex－x－1>0恒成立，

令φ′(x)>0，得x>1；令φ′(x)<0，得0

φ(x)min＝φ(1)＝e－2，

∴k<φ(x)min＝e－2，

∴实数k的取值范围为(－∞，e－2)．

2x2

【归纳总结】用导数证明不等式的方法

(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)，②对∀x1，x2∈[a，b]，且x1

【课后作业】解答题提升卷2