复习参考题含PPT的教学设计及点评

高二数学教学案例

刘伟

法向量的应用专题：

高中数学法向量的定义：如果向量a平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：

A 一、求点到平面的距离

设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平面α于点B，而n是平面α的法向量，那么向量BA在n方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，

α

h B θ

n所以

hBAcosBA,nBAnn

※

例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，

求点A1到平面DBEF的距离。

z

解：如图建立空间直角坐标系，

F 1C1

D1 ，

DA＝（1，0，1）

DB＝（1，1，0）

，DF＝（0，，1）12A1 E B1

设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有：

nDB0

即

x＋y＝0

nDF0

1y＋z＝0 2D A x B C y nDA1111

令x＝1,

y=－1,

z=,

取n＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离h22n注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝DB×DF。但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设n＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。

二、求异面直线间的距离

假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定平面α，且直线a∥

- 1 -

α，设n是平面α的法向量，那么n⊥a，n⊥b。所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平面α的距离，方法同例1。

例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。

解：如图建立空间直角坐标系，

z

则AC＝（－1，1，0），DA1＝（1，0，1）

连接A1C1，则A1C1∥AC,设平面A1C1D的

法向量为n＝（x，y，z）,

nAC0

A x B A1

D1 B1 D C y C1

由

可解得n＝（1，1，－1），又AA1＝（0，0，1）

nDA10

所以点A到平面A1C1D的距离为hAA1nn33，即直线DA1和AC间的距离为。

33注：这道题若用几何推理，需连结D1B，交△DA1C1和△B1CA分别为E、F，并证明△D1DE≌△B1BE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线段长而且三等分线段D1B，进而求解EF，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。

三、求直线与平面所成的角

直线AB与平面α所成的角θ可看成是向量AB与平面α的法向量n所成的锐角的余角，所以有sincosAB,nABnABn。

例3：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角。

解：如图建立空间直角坐标系，

AB＝（0，1，0），AD1＝（－1，0，1），

z D1 A1 E B1 C1 1AE＝（0，，1）

2设平面ABC1D1的法向量为n＝（x，y，z）,

由

nAB0

可解得n＝（1，0，1）

DA B C y x - 2 -

nAD10

设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则sinAEnAEn10，

5

所以直线AE与平面ABC1D1所成的角为arcsin四、求二面角的大小

10。

5

已知二面角α－l－β，点A是二面角α－l－β内一点，过点A向α、β引垂线，垂足分别为C、B，则AC、AB确定平面ABC，延伸平面ABC，交直线l于点D，根据二面角的平面角的定义，易证∠CDB就是二面角α－l－β的平面角。∠CDB＝180°－∠CAB，而∠CAB可看成α、β的法向量n、n所成的角（或其补角）。

α

C D l A B β

例4：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。

解：如图建立空间直角坐标系，A1C1＝（－1，1，0），A1B＝（0，1，－1）

设n1、n2分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，

由

n1A1B0

可解得n1＝（1，1，1）

A1 z

D1 B1 D A x

B C y

C1 n1A1C10

易知n2＝（0，0，1），

所以，cosn1,n2n1n2n1n2＝3

3所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos33或

－arccos。

33注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求

出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。

五、证明两平面平行或垂直

若α∥β，

则

n∥n；反之也成立。

- 3 -

若α⊥β，

则

n⊥n；反之也成立。

例5：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC。

z

证明：如图建立空间直角坐标系，

D1 C1 E

则A1C1＝（－1，1，0），B1C＝（－1，0，－1）

A1 B1

A1D＝（1，0，1），

B1A＝（0，－1，－1）

设A1EA1C1，A1FA1D，B1MB1A（、、

F

D A B M

C y

R，且均不为0）

设n1、n2分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，

x

由

n1A1E0

可得

n1A1C10

即

n1A1C10

n1A1F0

n1A1D0

n1A1D0

解得：n1＝（1，1，－1）

由

n2B1M0

可得

n2B1A0

即

n2B1A0

n2B1C0

n2B1C0

n2B1C0

解得n2＝（－1，1，－1），所以n1＝－n2，

n1∥n2，

所以平面A1EF∥平面B1MC。

注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用n1⊥n2n1n20来证明。

利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。

例5如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，

AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。

A1

（Ⅰ）证明：D1EA1D；

（Ⅱ）当E为AB的中点时，求点E到面

A x D E 图4 B D1

B1

z C1

C y

- 4 -

ACD1的距离；

（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。

4

分析

本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。

解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AEa，则A1(1,0,1)，D1(0,0,1)，E(1,a,0)，

A(1,0,0)，C(0,2,0)。

（Ⅰ）证明：由DA1(1,0,1)，D1E(1,a1,1)，

DA1D1E(1,0,1)(1,a1,1)110，有DA1D1E，于是D1EA1D。

（Ⅱ）E是AB的中点，得E(1,1,0)。

D1E(1,1,1)，AC(1,2,0)，AD1(1,0,1)。

设平面ACD1的法向量为n(x,y,1)，单位法向量为n0，

由nAC0(x,y,1)(1,2,0)0x2y0x1nAD10(x,y,1)(1,0,1)0，解得x10y1。

2(1,1,1)

于是n(1,122122,1)，有n0(,,11333)。

41设点E到平面ACD1的距离为d，则

dD21211En0(1,1,1)(3,3,3)3。

所以点E到平面ACD1的距离为13。

（Ⅲ）平面DEC的法向量n1(0,0,1)，设平面D1EC的法向量n2(x,y,1)。又EC(1,2a,0)，DC1(0,2,1)。

由n2EC0D，得(x,y,1)(1,2a,0)n021C0(x,y,1)(0,2,1)0

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ax1xy(2a)0a12，解得，于是n2(1,,1)。

222y10y12

设所求的二面角为，则4。

a1(0,0,1)(1,,1)222，得(1a)2112。

有coscosDD1,n2242a1(1)2124解得a23，

所以，当AE=23时，二面角D1ECD的大小为。

4z P 例6

如图5，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，

例7

PD底面ABCD，AD=PD，E，F分别CD、PB的中点。

（Ⅰ）求证：EF平面PAB；

（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成角的大小。

分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面

垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理

论证能力，本题也是一题两法。

（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5），设AD= x C F E D A B 图

5 11PD=1，AB=2a（a0），则E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), F(a,,). y 22112211由EFAB(0,,)(2a,0,0)0，得EFAB，即EFAB，

22

同理EFPB，又ABPBB，

所以，EF平面PAB。

得EF(0,,)，PB(2a,1,1)，AB(2a,0,0)。

（Ⅱ）解：由AB2BC，得2a2，即a2。

2得E(2211,0,0)，F(,,)，C(2,0,0)。

2222112,1,0)，EF(0,,)。

222

有AC(2,1,0)，AE(

设平面AEF的法向量为n(x,y,1)

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1111(x,y,1)(0,,)0y0nEF0222y12由，解得。

x2(x,y,1)(2,1,0)02xy0nAE022于是n(2,1,1)。

设AC与面AEF所成的角为，AC与n的夹角为AC,n。

则sincosAC,nACnACn(2,1,0)(2,1,1)2102113。

6得arcsin3。

63。

6所以，AC与平面AEF所成角的大小为arcsin

说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC与平面AEF所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量n，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。

利用法向量也可顺利求解：

如图6 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯

P M 0形，AB//DC，DAB90，PA底面ABCD，

1且PA=AD=DC=AB1，M是PB的中点。

2

（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；

A B D C

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

图

6

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

解：（略）

说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。

以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量将在数学解题中起到越来越大的作用。

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