3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优质课教案

3.2.2 导数的运算法则

学习目标：

1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点) [自

主

预

习·探

新

知] 导数的运算法则

(1)设两个函数f(x)，g(x)可导，则

和的导数

差的导数

积的导数

商的导数

fg[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x) [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) xf′＝xxgxfxg[gx]2x(g(x)≠0) (2)常数与函数的积的导数

[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数) 1思考：根据商的导数的运算法，试求函数y＝的导数．

x【即时小测】

cos xx1.函数y=

的导数是

(

)

sin x B.ysin x2xxsin xcos xxcos xcos xC.y D.yx2x2A.y2.曲线1f(x)=3x3-x2+5在x=1处的切线的倾斜角为(

) A.3 B. C. D.6443 123.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为y=f(1)+f′(1)=

. 【知识探究】

探究点

导数的运算法则

1 x+2,则

1.应用导数的运算法则求导数的前提是什么? 提示:应用导数的运算法则求导数的前提是f′(x),g′(x)都是存在的. 2.在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数? 提示:可以.例如,①若y=f(x)=±c,则y′=0; kfxk]2［fx］②若y=af(x),则y′=af′(x);③fx (f(x)≠[0).

【归纳总结】

对导数运算法则的三点说明

(1)对于运算法则不要求推导,只要求能熟练运用法则求简单函数的导数. (2)用求导公式和运算法则,可简化运算过程,降低运算难度. (3)解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量. 易错警示:导数乘除法的运算法则的应用

(1)避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误. (2)注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”. 类型一

利用运算法则求导数

【典例】1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2exf′(1)+3lnx,则f′(1)等于

(

) A.-3

B.2e

2.求下列函数的导数. (1)y=x3+log2x.(2)y=exlnx. 1(3)y= 1x1x1x.x C.23 D.12e12e

【解题探究】1.典例1中等式f(x)=2exf′(1)+3lnx中的f′(1)怎样理解? 提示:式子中的f′(1)是个常数.

2

2.典例2中的(3)应如何求导? 提示:先化简,再求导.

【方法技巧】利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式. (2)如果求导式比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.

【变式训练】求下列函数的导数: (1)y=3x+221.xx2 (2)y=3x+lnx+5. 2x1.3x3

(3)y=excosx+sinx.(4)y=

类型二

导数运算法则的应用

【典例】1.设曲线y=x1x1 在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,3

则a等于

(

) A.2 B. C.- D.-2 2.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标为

. 【解题探究】1.典例1中切线的斜率是多少? 提示:由于直线ax+y+1=0的斜率为-a,因此切线的斜率

为 . 2.典例2中曲线在点P处的切线斜率是多少? 提示:由于在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则在点

P处的切线斜率为2.

【延伸探究】1.典例2中试求过点P处的切线与直线2x-y+1=0之间的距离. 2.典例2中试求曲线上与直线y=-x平行的切线方程.

【方法技巧】关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点. 【课堂训练】已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a,b,c的值.

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自我纠错

求导公式的应用

【典例】求下列函数的导数: (1)y=(x+1). (2)y=2cos2

课堂练习：

1．下列运算中正确的是(

) A．(ln x－3sin x)′＝(ln x)′－3′·(sin x)′

B．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋bx′

sin xC．2′＝xsin x′－x222 . x2′x2

D．(cos x·sin x)′＝(sin x)′cos x＋(cos x)′cos x

2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)为(

) A．3x2＋3x

C．3x2＋3xln 3

5 1B．3x2＋3xln 3＋

3D．x3＋3xln 3

3．函数f(x)＝xex的导函数f′(x)＝__________. 14．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________. 2π15．设f(x)＝ax2－bsin x，且f′(0)＝1，f′＝，求a，b的值. 32课后作业：习题3.2 3，4，5

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