习题3.2教学设计第一课时

3.2直线的方程 教学设计

一、教材分析

直线方程是这一章的重点内容，直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径.在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。而已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程，由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式。在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式.掌握直线方程的一般形式为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础。直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式，所以各种形式应会互化.引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想，通过直线方程各种形式的互化,渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时,渗透数形结合的数学思想. 直线是最基本、最简单的几何图形，它是研究各种运动方向和位置关系的基本工具，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础. 二、教学目标

1.理解直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式特点和适用范围；

2.明确直线方程一般式的形式特征；

3.能正确利用直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式公式求直线方程；

4.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系；

5.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

6.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式. 三、教学重难点

教学重点:1、引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程. 2、直线方程两点式和截距式. 3、直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:1、在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.

2、关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形. 3、在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程各种形式的互化. 四、教学过程

（一）直线方程的点斜式

如图:直线l过定点P0(x0，y0)且斜率为k，那么l上任一点P(x，y)的坐标满足什么关系？通过这一关系进一步说明了什么？

提示:由斜率公式得k= xx0，即y-y0=k(x-x0).并且过点P0(x0，y0)0yy斜率为k的直线l上每一点的坐标都满足该关系;坐标满足该关系的每一点都在过点P0(x0，y0)，

斜率为k的直线l上. 00

由直线上一定点(x0，y0)及其斜率

结论:直线的点斜式方程方程 y-y=k(x-x)k确定，我们把这个方程叫直线的点斜式方程，简称点斜式. 例1.(1)经过点(4，-1)且平行于x轴的直线方程为__________.

(2)已知在△ABC中，A(1，-4)，B(2，6)，C(-2，0)，AD⊥BC于点D，求直线AD的方程. 【解析】(1)因为所求直线平行于x轴，故斜率k=0，所以直线的方程为y-(-1)=0(x-4)，

即y=-1.答案:y=-1 (2)

由题意知，kBC603 2222

3因为AD⊥BC，所以直线AD的斜率存在，且kAD故直线AD的方程为y+4=-2 (x-1). 3变式训练1.已知在△ABC中，A(1，-1)，B(2，2)，C(3，0)，则AB边上的高线所在直线方程为__________.

变式训练2.已知直线l经过点(3

，-2)，其倾斜角是60°. (1)求直线l的方程. (2)求直线l与两坐标轴围成三角形的面积.

(二)直线方程的斜截式

1.斜率为k，与y轴的交点为(0，b)的直线的点斜式方程是什么？

提示:由点斜式方程的特点知，斜率为k，过点(0，b)的直线点斜式方程为y-b=k(x-0). 2.若把直线l与y轴交点的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距，那么直线l的方程能否用

该直线的斜率k与该直线在y轴上的截距b表示？

提示:可以，因为直线l过点(0，b)且斜率为k，故直线l的方程为y-b=k(x-0)，化简得y=kx+b，因此直线l的方程可以用k，b表示. 结论:截距与斜截式方程

直线l与y轴交点的纵坐标叫做直线l在y轴上的截距;由斜率和它在y轴上的截距确定的方程叫直线的斜截式方程.形式:y=kx+b. 例1.倾斜角为135°，在y轴上的截距为-1的直线方程是 (

) A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 【解析】选D.因为倾斜角为135°，所以k=tan 135°=-1. 所以直线方程为y=-x-1. 变式训练1.已知直线l1:y=-ax-2(a∈R).若直线l1的倾斜角为120°，则实数a的值为_______;若直线l1在x轴上的截距为2，则实数a的值为_______. 例2.若直线l的倾斜角为45°，且在y轴上的截距为1，则直线l的斜截式方程为____________.

【解析】因为k=tan 45°=1，直线l在y轴上截距为1，故直线l的方程为y=x+1. 答案:y=x+1 变式训练2.求倾斜角是直线y=-3x+1的倾斜角的直线方程. （三）两条直线的平行与垂直的应用

例1.已知直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2. (1)当a为何值时，l1∥l2？(2)当a为何值时，l1⊥l2？

【解析】设直线l1，l2斜率分别为k1，k2，则k1=-1，k2=a2-2. 1 ，且满足在y轴上的截距是-5的4a221(1)当l1∥l2时，有

，解得a=-1. 2a2(2)当l1⊥l2时，k1k2=-1，即a2-2=1，

所以a2=3，所以a= 3

变式训练1.已知直线l1:x-my-6=0，l2:(m-2)x-3y-2m=0.若l1⊥l2，则m的值为__________.若l1∥l2，则m的值为__________.

例2.已知直线l1的方程为y=-2x+3.

(1)若直线l2与l1平行，且过点(-1，3)，求直线l2的方程. (2)若直线l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l2的方程. 【解析】(1)由直线l2与l1平行，可设l2的方程为y=-2x+b，将x=-1，y=3代入，得3=(-2)×(-1)+b，即得b=1，

所以直线l2的方程为y=-2x+1. (2)由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为y= 令y=0，得x=-2m，令x=0，得y=m，

故三角形面积S=1x+m，

21|-2m|·|m|=4，

211x+2或y=x-2. 22所以m2=4，解得m=±2，所以直线l2的方程是y=(四)直线方程的两点式

观察如图所示的直线l，思考下列问题: 1.直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)两点，那么直线l的点斜式方程是什么？ 提示:由x1≠x2，所求直线的斜率k=y2y1yy1，则直线的点斜式方程为y-y1=2 x2x1x2x1(x-x1). 2.方程y-y1=y2y1xx1yy1(x-x1)(x1≠x2)能否写成？

x2x1x2x1y2y1提示:当y1≠y2时，可以写成上式;当y1=y2时，不能写成该形式. 结论:两点式方程的形式xx1yy1 (x1≠x2，y1≠y2)，当x1=x2时，方程为xx1，x2x1y2y1当y1=y2时，方程为yy1. 例1.经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程都可以表示为(

)

A．xx1yy1xx2yy2 B. x2x1y2y1x1x2y1y2y2y1

x2x1c. (yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1) D. yy1变式训练1.过点A(2，3)和点B(4，7)的直线方程是(

)

A.y=-2x+7 B.y=2x+1 C.y=2x-1 D.y=2 变式训练2.在△ABC中，已知点A(5，-2)，B(7，3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标.(2)求直线MN的方程. 例2.已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(5，1)，C(-1，-1). (1)求BC边的中线AD所在的直线方程.(2)求AC边的高BH所在的直线方程. 【解析】(1)BC中点D的坐标为(2，0)，所以直线AD方程为: (2)因为kACy-1=x3x1 化简得y=-3x+6. 032113(1)2，BH⊥AC，所以kBH，所以直线BH方程为: 21(1)117(x-5)，即y=x+ . 222变式训练3.△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(-2，6)，C(-8，0). (1)求边AC和AB所在直线的方程. (2)求边AC上的中线BD所在的直线的方程. （五）直线的截距式方程

1.若直线l经过点A(a，0)与点B(0，b)，则直线l的两点式方程是什么？

提示:当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为2.问题1中的方程有何特点？

提示:直线l与x轴交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，因此问题1中的方程是由直线在两个坐标轴上的截距确定的. y0xa b00axy1(ab0) . abyx例1.若直线l的方程为1 =1，则直线l在x轴与y轴

32结论:截距式方程的形式: 上的截距分别是

(

) A．3,2 B.2,3 c. 变式训练1.直线A.a B.b 1111, D. ,

2332xy1(ab0)在y轴上的截距是 (

) abC.-a

D.-b 变式训练2.直线l过点(-3，3)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程. 例2.在x轴、y轴上的截距分别是2，-3的直线方程为(

) A. xyxyyxxy1 B. 1 c. 1 D. 1

23233223

变式训练2.过定点(2，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有n条，则n的值(

) A.1 B.2 C.3 D.以上答案都不对

（六）直线方程的一般式

1.平面直角坐标系中的每一条直线l都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

提示:可以，当直线l斜率k存在时，在直线l上任取一点P0(x0，y0)，其方程为y-y0=k(x-x0)，这是关于x，y的二元一次方程，当直线l斜率不存在，即直线l的倾斜角α=90°时，直线的方程为x-x0=0，这也是关于x，y的二元一次方程. 2.每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示一条直线吗？

提示:都表示.当B≠0时，方程可变形为

y它表示过点 (0,(ACx

BBCAC ),斜率为

的直线，当B=0时，则x=，它表示过

BBAC ,0),垂直于x轴的一条直线，故每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. A结论:直线方程的一般式

我们把关于x，y的二元一次方程AxByC0(A，B不同时为零)叫做直线的一般式方程，简称一般式. 例1.直线l的方程为Ax+By+C=0，若直线l过原点和第二、四象限，则(

)

A.C=0，A>0 B.C=0，A>0，B>0 C.AB<0，C=0 D.AB>0，C=0 【解析】

选D.因为直线l过原点，所以C=0.又因为l过第二、四象限，故AB>0. 变式训练1.方程2x-3y-1=0在x轴上的截距为____________;在y轴上的截距为____________.

例2.把直线l的方程2x-3y-6=0化成截距式，指出直线在x轴、y轴上的截距，并画出图形. 【解析】由2x-3y-6=0，得2x-3y=6，即 该直线在x轴、y轴上的截距分别为3与-2，画出图形如

图所示: 变式训练2.本例条件不变，试将直线l的方程化成斜截式并指出它的斜率与截距. 变式训练3.若把本例中的直线方程“2x-3y-6=0”换为“-4x+7y-28=0”，其结论又如何呢？

例3.直线x-y-1=0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是

(

)

A <0，所以B

A.135°，1 B.45°，-1 C.45°，1 D.135°，-1 【解析】选B.根据题意，直线的方程为x-y-1=0，变形可得y=x-1，

则其斜率k=1，倾斜角为45°，在y轴上的截距为-1. 变式训练4.直线2x-5y-10=0与坐标轴围成三角形的面积为(

) A.5 B.10

C.15

D.20 （七）直线方程的综合应用

例1.已知直线l:5ax-5y-a+3=0. (1)求证:不论a为何值，直线l总经过第一象限. (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围. 【解析】(1)将直线l的方程整理为y31a(x) 55所以l的斜率为a，且过定点A(,)，而点A(,)在第一象限，故l必过第一象限. 13551355305(2)直线OA的斜率为k3，

因为l不经过第二象限，所以a≥3，故a的取值范围105是[3，+∞). 变式训练1.已知直线l1:2x-y+1=0和直线l2:x+y-4=0相交于点A，O是坐标原点，直线l3经过点A且与OA垂直. (1)求直线l3的方程. (2)若点B在直线l3上，且|OB|=10，求点B的坐标. 例2.一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(-1，6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 【解析】点A关于x轴的对称点为A1(3，-2)，点B关于x轴的对称

点为B1(-1，-6). 因为A1在反射光线的延长线上，B1在入射光线的延长线上，由两点式可得直线A1B的方程为y2x3，化简得2x+y-4=0;直线AB1的方程为 6213化简得2x-y-4=0. 所以入射光线所在直线方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线方程为2x+y-4=0. 变式训练2.已知有条光线从点A(-2，1)出发射向x轴点B，经过x轴反射后射向y轴上的C

点，再经过y轴反射后到达点D(-2，7).求直线BC的方程. 变式训练3.已知光线通过点A(2，3)，经直线x+y+1=0反射，其反射光线通过点B(1，1)，求入射光线和反射光线所在直线方程. 五、课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程；掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系；

2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.

3.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.