3.3.1 两条直线的交点坐标优质课教案

直线的交点坐标与距离公式

【教学目标】

1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；

2.会根据方程组解的个数判定两直线位置关系；

3.掌握两点间的距离公式并会简单应用。

【教学重点】求两直线的交点及两点间距离公式的应用

【教学难点】两点间距离公式的灵活应用

【教学理念】学生是学习主体，教师是教学活动的组织者和引导者，还学生以时间课堂。

【教学过程】

一、趣味情景导学

教师活动：平面内直线有哪些位置关系？（一位学生回答）这节主要讲相交。

教师活动：通过PPT展示两幅图片。

生活中两条直线相交的实例随处可见，如图是成都市天府立交桥的夜景图，四通八达的交通路线为美丽的城市增添了无穷的魅力，这些交通路线直观地刻画了两条直线相交等位置关系，如果知道直线的方程，如何判定出两直线的位置关系呢？又如何求出其交点坐标呢？

为了旅行的需要，很多航空公司需新增航线，如果把城市看成坐标系上的点，那么如何计算出两点间的距离呢？

带着以上两个问题，就让我们进入本节两条直线的交点坐标、两点间的距离的学习吧！

二、展示学习目标（请一位同学读）

三、问题导学探究

探究点1

两条直线的交点

思考1：已知两直线：l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0相交，如何求交点坐标？ 教师活动：教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空。

学生活动：探究，完成上表及如何求交点坐标的问题。（请一位同学回答）

思考2：交点坐标与二元一次方程组的解有什关系？ 教师活动：引导学生归纳概括出以下结论：

如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这个方程组的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是两条直线的交点。

例1

求下列两条直线的交点坐标：

l

1:3x4y20,l2:2xy20.学生活动：独立思考完成。（请一位同学回答）

教师活动：问学生解二元一次方程组的方法。

【练习】

P104练习1 学生活动：独立完成。（请一位同学回答）

思考3：

当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示何图形?图形有何特点？

学生活动：先独立思考，后小组讨论。（请一位同学发言）

教师活动：讲解，首先解决是直线，再解决图形特点（渗透解决问题特殊化的思路）。

解：先以特殊值引路：

λ=0时，方程为l1：3x+4y-2=0 λ=1时，方程为l2：5x+5y=0 λ=-1时，方程为l3：x+3y-4=0……

作出相应的直线

所以当λ变化时，方程表示直线，所有的直线都过点（-2,2）. 探究发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交点的直线束（直线集合）

结论引申：共点直线系方程：

A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

是过直线

A

1

x



B

1

y



C

1



2

x



B

2

y



C

2



0

的交点的直线系方程。

0

和

A

教师活动：提醒学生记笔记，103页。给学生消化时间，提出疑问时间。

【练习】

(2015·邢台高一检测)直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程。

答案

2x-y=0

法1可设为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0. 法2 求出两直线交点，再求方程

学生活动：学生独立完成。（找两位同学上黑板完成，做完后让两位同学讲）

教师活动：教师点评，总结。

例2

判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标：

(1)l1:xy0, l2:3x3y100.

(2)l1:3xy40, l2:6x2y10.

(3)l1:3x4y50, l2:6x8y100.学生活动：学生独立完成。（找三位同学对答案，讲怎么做的）

教师活动：教师点评，总结补充。以其中（2）板书，有简单做法给予表扬，给学生看书时间，整理时间。

【练习】

P104练习2（根据时间适当选取）

探究点2

两条直线的位置关系

思考4 两直线位置关系与两直线的方程组成的方程组的解的情况有何关系？

A1xB1yC10,

A2xB2yC20

(1)若方程组有且只有一个解, 则l1与l2相交.

(2)若方程组无解, 则l1与l2平行.

(3)若方程组有无数个解, 则l1与l2重合. 师生共同归纳：两条直线位置关系的判定方法

探究点3

两点间的距离公式

(x2x1)2(y2y1)2.两点

2

(

x

2

,

y

2

)

间的距离为

PPP121(x1,y1),P

OPx2y2.特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离

教师活动：从教材104页下看到105页例3前。

学生活动：认真研读教材，回答以下问题。

（1）

关书，背公式（一位同学）

（2）

公式推导的核心思想是什么？（一位）

教师活动：要求：记住公式，平方，谁做被减数，减数都不影响。直接用公式。给学生30秒记公式。学以致用。（问学生有无疑问）

【练习】

教材P106练习1，2（根据时间适当选取）

例3

已知点

A

(



B

(2,

7),

在

轴上求一点P,

使

, 1

,2),并求

|

PA

|

的值. 法1：设P的坐标，直接翻译

法2：利用P在AB的中垂线上

学生活动：学生独立完成。（找一位学生对答案，讲怎么做）

教师活动：板书，总结补充。

【能力提升】（备用）

1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是

( C

) 2A.k＞



2

B.k＜2

C. 

2

＜k＜2

D.k＜



3

或k＞2 33

学生活动：独立完成。（请一位同学对答案，并讲怎么做）

教师活动：教师点评，板书。

2.已知△ABC的三个顶点坐标是A(1, -1), B(-1, 3), C(3, 0). (1)判断△ABC的形状.（以A为直角顶点的直角三角形）

(2)求△ABC的面积.（5）

（1）（画图估计）勾股定理，斜率，向量

学生活动：独立完成，小组内互改。

教师活动：展示PPT

四、课堂小结，归纳梳理

1.当两条直线相交时，怎样求交点坐标？

2.两直线位置关系与二元一次方程组的解之间的关系。

3. 两点间的距离公式。

五、作业布置

P110习题3.3 A组：6，7，8. x|PA||PB|