第四章 圆与方程（通用）优秀教案设计

教学设计

课题：§4.2.3直线与圆的方程的应用

（人教A版高中课标教材数学必修2）

河北正中实验中学

尹

兰

一．

教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学2》（人教A版）第四章第二节的第三课时（4.2.3）《直线与圆的方程的应用》．本节内容属于应用性知识，主要是运用本章前面所学过的知识和理论原理来研究和解决直线与圆的方程的实际应用问题以及利用坐标法解决平面几何的证明问题．因此本节课是整章知识的整合，也体现了数学建模思想．此外本节课在教材中还起着深化知识，提升知识的作用，使学生的基本技能上升到一个新的台阶，同时为以后解析几何的深化学习奠定了良好的基础．

二．

学生学习情况分析

本节课是学过直线与圆的所有相关知识后的实际应用问题，授课对象是高一学生，学生已对直线与圆的基本知识和原理有了基本的认识，会进行有关直线与圆的方程的基本运算，但对于实际应用问题以及建模思想还不熟悉，对解析几何的认识还比较初级.

三．

教学目标设置

根据学生的具体情况将教学目标设置为：能陈述用坐标法解决实际问题的步骤，即数学建模的基本过程，探索用坐标法解决具体的几何问题，能感悟选择坐标系的方法的多样性及合理选择坐标系的必要性，能体会到用坐标法解决实际问题和几何问题的优缺点，会用多种方法解决给定的几何问题，能在问题解决的过程中有个性化的想法。

教学重点：用坐标法解决实际问题的方法及蕴含的数学建模思想.用坐标法解决几何问题的方法及蕴含的解析几何的基本思想.掌握坐标法的程序性. 教学难点：用坐标法解决实际问题和几何问题，因为解决这个问题需要合理选择坐标系，并且运算量较大容易导致学生出错。

四．

教学过程设计

1.构建模型，引入课题

同学们，认识这座桥吗？这是我们都熟悉的赵州桥.

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赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，是中国现存最早、保存最好的巨大石拱桥。赵州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥，创造了世界之最。河北民间将赵州桥与沧州铁狮子、定州开元寺塔、正定隆兴寺菩萨像并称为"华北四宝"。桥长50.82米，跨径37.4米，圆拱高7.23米，两端宽9.6米，桥的设计完全合乎科学原理，施工技术更是巧妙绝伦。现有一船宽4米，水深4米，水上部分高3米时，船能否安全通过呢？

设计意图：利用学生熟悉的赵州桥为背景，将数学知识与乡土历史相融合，激发学生学习兴趣的同时让学生认识到数学与生活紧密相连.提出一个数学模型，引导学生应用数学建模思想和方法解决生活中的实际问题. 2. 提出问题，自主探究

以例题的形式，将实际问题转化为数学问题，因为实际问题的数值不易计算，运算量大，短时间内难以算出，所以通过以下例题体会解决问题的基本思路. 例1：如图1是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB20m，拱高OP4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支0.01m)．

撑，求支柱A2P2的高度(精确到思考1：若用坐标法进行运算，如何建立平面直角坐标系，可以使计算相对简单？（给出尽可能多的方案，并通过合作交流选出最优方案

，预设学生有下列几种建系方式）

图1

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思考2：建立直角坐标系后，求支柱A2P2的高度，化归为什么问题？

答：支柱A2P2,P2的纵坐标的差.（根据学生建立不同的坐标2的高度即为点P2的纵坐标或A系会有不同的回答，一般学生会选第一种或第三种方案）

思考3：取1m为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？请根据自己选的方案计算，看谁算的最快. 答：由圆心在y轴上，可设圆的方程为x2(yb)2r2，然后根据点A，B在圆上，构造方程组即可求解b，r，得到圆的方程．

思考4：利用这个圆的方程如何求点P2的纵坐标？

x2代入圆的方程可得结果．

答：将点P2的横坐标最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：

解：取1m为长度单位，建立图2所示的直角坐标系，使圆心在在y轴上，设圆心坐标是(0,b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2(yb)2r2，因为P,B都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程

x(yb)r．于是，得到方程组

2220(4b)r,

22210(0b)r.222图2

解得b10.5，r14.5．

所以，圆的方程是x(y10.5)14.5．

22222x2代入圆的方程，得(2)(y10.5)14.5，解得将点P2的横坐标222y3.86(m)(P2的纵坐标y0)．

3.86m．

所以，支柱A2P2的高度约为用另一种建系方式算出的结果是一样的，最后教师简单做点评，强调建系方式的重要性. 设计意图：通过渐进式的提问，引导学生主动思考，展示思维过程，设置解题悬念，提出更多的可能，并通过教师的适当点拨，如怎样选坐标系、求长度等，这样的设计使学生多一些

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合作交流，自主运算，发展了学生优化选择意识的同时，数据的改变和处理也减轻了解析几何中运算量大给学生造成的负担. 拓展：如果不建立坐标系，你能用学过的知识解决这个问题吗？

学生会解这个问题的应该不多，教师引导，师生共同探究得到以下方案. tAOC分析：过P由已知OP4，OA10．在R2HOP，2作P中，有CACOOA．设圆拱所在圆的半径长是r，则有222r2(r4)2102，解得r14.5．

CP2在RtCP2H中，有因为P2HA2O2，

于是有CH22CH+P2H，

22r2A2O14.524206.25，

206.2510.53.86，

2又OC14.5410.5，于是有OHCHOC3.86m．

所以支柱A2P2的高度约为设计意图：共同用之前学过的平面几何的知识解决该问题，方法简单，计算量也不大，但是思路不容易想到，相反，坐标法的计算量虽然不小，单直接了当，容易入手，可看成通性通法，所以通过比较可以体会坐标法在解决一些问题上的优点.

通过上述例题，请大家一起总结一下利用坐标法解决实际问题的基本步骤：

（1）审题——分清条件与结论，将实际问题数学化

（2）建模——将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数学模型；

（3）解模——求解数学问题，得出数学结论；

（4）还原——根据实际意义检验结论，还原实际问题.

3.深入讨论，提炼思想

例2．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半．

思考1：

若用平面几何方法是否马上就有思路？若用坐标法怎样建立平面直角坐标系？

（提示：建系时，尽可能使得所涉及的点位于坐标轴上，因为这样可以使得它们的坐标比较简单）

学生可能会去尝试平面几何的办法，但不容易有思路，不妨直接由教师展示一种平面几何的证法，也可以尽快将学生的注意力引到解析几

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何上来

证明：如图3，连接AO并延长交圆O于点F，连接DF，因为34，在RtADF和RtAOB中，12，517,627，56，又CF//BD，ACFCOD90o，从而四边形CFDB为等腰梯形，CBDF，又

思考2：如图3所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点DF2OE,CB2OE. A(a,0)，B(0,b)，C(c,0)，D(0,d)，那么BC边的长为多少？

思考3：如何计算圆心O到直线AD的距离OE？

学生可能会有两种回答

答1：由OEAD，可知点E为线段AD的中点，根据中点坐标公式求出点E坐标为答2：OEad,，再由两点间距离公式可得OE．

22

22RAE，其中点E为线段AD的中点. 图4 最后教师归纳概括，给出规范的解题过程如下：

证明：如图4，以四边形ABCD互直垂直的对角线AC，BD

所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系．设A(a,0)，B(0,b)，C(c,0)，D(0,d)，

过四边形ABCD外接圆的圆心O分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，的中点．由线段的中点坐标公式，得

xOxMacbdad，yOyN，xE，yE．

222222122acabddbc．

所以OE+2222222又BCbc，所以OE221BC．

2通过上述例题，请大家一起总结一下利用坐标法解决平面几何问题的基本步骤：

用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

设计意图:通过用坐标法解决平面几何证明，明确步骤，同时更好的体现用坐标法解决平面

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几何问题的突出优势，如不用添加辅助线，思路简单明了，容易提炼通性通法等，通过几何法和坐标法的比较，进一步让学生体会几何证法的奇巧性和坐标法应用的一般性．

4.课堂小结，提升认识

1．知识方面：

（1）直线和圆的方程在解决实际问题中的具体步骤——审题，建模，求解，还原；

（2）坐标法在平面几何中的应用；

（3）利用坐标法解题的“三步曲”——建系，转化为代数问题，还原为几何问题．

2．思想方法方面：

体会数形结合的数学思想在解题中的应用．

设计意图：小结是领悟、内化数学思想的重要环节，这有益于帮助学生强化数学思想，从解题实践上升到理性思考.

5.

布置作业

6.

板书设计

4．2．3直线与圆的方程的应用

一、复习回顾引入新课

二、探究新知

例1．

例2．

2．

三、提炼思想

1．

四、归纳小结