习题4.1教学设计(第一课时)

4.1.1 圆的标准方程

整体设计

教学分析

在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用.同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来.教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题. 三维目标

1.使学生掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣，培养学生分析、概括的思维能力. 3.理解掌握圆的切线的求法.包括已知切点求切线，从圆外一点引切线，已知切线斜率求切线等.把握运动变化原则，培养学生树立相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，欣赏和体验圆的对称性，感受数学美. 重点难点

教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山) 说明:在白纸上要表演的是一个小魔术，名称是《日出》，所以还缺少一个太阳，请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构画出自己的太阳. 课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性)；一种作出后有同学觉得不够美(点评:其实每个人心中都有一个自己的太阳，每个人都有自己的审美观点). 然后上升到数学层次：

不同的圆心和半径对应着不同的圆，进而对应着不同的圆的方程. 从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹. 那么在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的直线方程的求解，应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题:圆的标准方程. 思路2.同学们，我们知道直线可以用一个方程表示，那么，圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容，教师板书本节课题:圆的标准方程. 推进新课

新知探究

提出问题

①已知两点A(2，－5)，B(6，9)，如何求它们之间的距离?若已知C(3，－8)，D(x，y)，又如何求它们之间的距离? ②具有什么性质的点的轨迹称为圆？

③图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？

④我们知道，在平面直角坐标系中，确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角，那么，决定圆的条件是什么? ⑤如果已知圆心坐标为C(a，b)，圆的半径为r，我们如何写出圆的方程?

⑥圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时，圆的方程是什么？

22讨论结果：①根据两点之间的距离公式(x1x2)(y1y2)，得

22|AB|=(26)(95)212，

|CD|=(x3)(y8). ②平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点是圆心，定长是半径(教师在黑板上画一个圆). ③圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小. ④确定圆的条件是圆心和半径，只要圆心和半径确定了，那么圆的位置和大小就确定了. ⑤确定圆的基本条件是圆心和半径，设圆的圆心坐标为C(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r＞0).设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r}，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件22(xa)2(yb)2=r.①

将上式两边平方得(x－a)2+(y－b)2=r2. 化简可得(x－a)2+(y－b)2=r2.②

若点M(x，y)在圆上，由上述讨论可知，点M的坐标满足方程②，反之若点M的坐标满足方程②，这就说明点M与圆心C的距离为r，即点M在圆心为C的圆上.方程②就是圆心为C(a，b)，半径长为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程. ⑥这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1.点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即C(0，0)时，方程为x2+y2=r2. 提出问题

①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么? ②确定圆的方程的方法和步骤是什么? ③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断? 讨论结果：①圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r且r＞0，这时圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件. ②确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接

求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：

1°根据题意，设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；

2°根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；

3°解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. ③点M(x0，y0)与圆(x－a)2+(y－b)2=r2的关系的判断方法：

当点M(x0，y0)在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，点M的坐标满足方程(x－a)2+(y－b)2=r2. 当点M(x0，y0)不在圆(x－a)2+(y－b)2=r2上时，点M的坐标不满足方程(x－a)2+(y－b)2=r2. 用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为: 1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外(x0－a)2+(y0－b)2＞r2，点在圆外; 2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上(x0－a)2+(y0－b)2=r2，点在圆上; 3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内(x0－a)2+(y0－b)2＜r2，点在圆内. 应用示例

思路1

例1

写出下列各圆的标准方程：

(1)圆心在原点，半径是3；

⑵圆心在点C(3，4)，半径是5; (3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，－3)；

(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x－4y－7=0相切. 解:(1)由于圆心在原点，半径是3，所以圆的标准方程为(x－0)2+(y－0)2=32，即x2+y2=9. (2)由于圆心在点C(3，4)，半径是5，所以圆的标准方程是(x－3)2+(y－4)2=(5)2，即(x－3)2+(y－4)2=5. 22(3)方法一:圆的半径r=|CP|=(58)(13)25=5，因此所求圆的标准方程为(x－8)2+(y+3)2=25. 方法二:设圆的标准方程为(x－8)2+(y+3)2=r2，因为圆经过点P(5，1)，所以(5－8)2+(1+3)2=r2，r2=25，因此所求圆的标准方程为(x－8)2+(y+3)2=25. 这里方法一是直接法，方法二是间接法，它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定. (4)设圆的标准方程为(x－1)2+(y－3)2=r2，由圆心到直线的距离等于圆的半径，所以

r=|3127|25|16|25.因此所求圆的标准方程为(x－1)2+(y－3)2=256. 25点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程. 例2

写出圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－5，－1)是否在这个圆上. 解:圆心为A(2，－3)，半径长等于5的圆的标准方程是

(x－2)2+(y+3)2=25，

把点M1(5，－7)，M2(－5，，－1)分别代入方程(x－2)2+(y+3)2=25，

则M1的坐标满足方程，M1在圆上.M2的坐标不满足方程，M2不在圆上. 点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何. 例3

△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求它的外接圆的方程.

活动：教师引导学生从圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2入手，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.另外可利用直线AB与AC的交点确定圆心，从而得半径，圆的方程可求，师生总结、归纳、提炼方法. 解法一:设所求的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2，因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，

它们的坐标都满足方程(x－a)2+(y－b)2=r2，于是

(5a)2(1b)2r2,222(7a)(3b)r(2a)2(8b)2r2.(1)(2)

(3)a2,解此方程组得b3,所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2+(y+3)2=25. r5.解法二:线段AB的中点坐标为(6，－1)，斜率为－2，所以线段AB的垂直平分线的方程为

y+1=1(x－6).

①

2同理线段AC的中点坐标为(3.5，－3.5)，斜率为3，所以线段AC的垂直平分线的方程为

y+3.5=3(x－3.5).

②

解由①②组成的方程组得x=2，y=－3，所以圆心坐标为(2，－3)，半径22r=(52)(13)=5，所以△ABC的外接圆的方程为(x－2)2+(y+3)2=25. 点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外心，它是△ABC三边的垂直平分线的交点，它到三顶点的距离相等，就是圆的半径，利用这些几何知识，可丰富解题思路. 思路2

例1

下图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度(精确到0.01 m).

解:建立坐标系如图，圆心在y轴上，由题意得P(0，4)，B(10，0). 设圆的方程为x2+(y－b)2=r2，因为点P(0，4)和B(10，0)在圆上，

222b10.5,0(4b)r,所以2解得2

222r14.5,10(0b)r.所以这个圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52. 设点P2(－2，y0)，由题意y0＞0，代入圆方程得(－2)2+(y0+10.5)2=14.52，

解得y0=14.52－10.5≈14.36－10.5=3.86(m). 答：支柱A2P2的长度约为3.86 m. 例2

求与圆x2+y2－2x=0外切，且与直线x+3y=0相切于点(3，－3)的圆的方程. 活动:学生审题，注意题目的特点，教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法，把已知圆的方程写成标准方程，再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组，求出参数，得到所求的圆的方程. 解:设所求圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.圆x2+y2－2x=0的圆心为(1，0)，半径为1.因为两圆22外切，所以圆心距等于两圆半径之和，即(a1)(b0)=r+1，①

22由圆与直线x+3y=0相切于点(3，－3)，得

b31()1,a33|a3b|r.1(3)2(2)

(3)解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=－43，r=6. 故所求圆的方程为(x－4)2+y2=4或x2+(y+43)2=36. 点评:一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径. 变式训练

一圆过原点O和点P(1，3)，圆心在直线y=x+2上，求此圆的方程. 解法一：因为圆心在直线y=x+2上，所以设圆心坐标为(a，a+2). 则圆的方程为(x－a)2+(y－a－2)2=r2. 因为点O(0，0)和P(1，3)在圆上，

1a,(0a)(0a2)r,4所以解得

222r225.(1a)(3a2)r,8222所以所求的圆的方程为(x+12725)+(y－)2=. 44813，)，

22解法二：由题意：圆的弦OP的斜率为3，中点坐标为(所以弦OP的垂直平分线方程为y－311=－(x－)，即x+3y－5=0. 232因为圆心在直线y=x+2上，且圆心在弦OP的垂直平分线上，

1x,yx2,174所以由解得，即圆心坐标为C(－，). 44x3y50,y7,4又因为圆的半径r=|OC|=()()14274225，

8

所以所求的圆的方程为(x+12725)+(y－)2=. 448点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量，要求圆的标准方程即要求a、b、r三个量，有时可用待定系数法. (2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用. 例3

求下列圆的方程: (1)圆心在直线y=－2x上且与直线y=1－x相切于点(2，－1). (2)圆心在点(2，－1)，且截直线y=x－1所得弦长为22. 解:(1)设圆心坐标为(a，－2a)，由题意知圆与直线y=1－x相切于点(2，－1)，所以|a2a1|1212(a2)2(2a1)2，解得a=1.所以所求圆心坐标为(1，－2)，半径22r=(12)(21)=2.所以所求圆的标准方程为(x－1)2+(y+2)2=2. (2)设圆的方程为(x－2)2+(y+1)2=r2(r＞0)，由题意知圆心到直线y=x－1的距离为d=|211|1212=2.又直线y=x－1被圆截得弦长为22，所以由弦长公式得r2－d2=2，即r=2.所以所求圆的标准方程为(x－2)2+(y+1)2=4. 点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解，此外平面几何的性质的应用，使得解法简便了许多，所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用，从确定圆的圆心和半径入手来解决. 知能训练

课本本节练习1、2. 拓展提升

1.求圆心在直线y=2x上且与两直线3x+4y－7=0和3x+4y+3=0都相切的圆的方程. 活动:学生思考交流，教师提示引导，求圆的方程，无非就是确定圆的圆心和半径，师生共同探讨解题方法. 解:首先两平行线的距离d=C1C2A2B2=2，所以半径为r=d=1. 2方法一：设与两直线3x+4y－7=0和3x+4y+3=0的距离相等的直线方程为3x+4y+k=0，由平

行线间的距离公式d=|C1C2|AB22，得|k7|3422|k3|4322，即k=－2，所以直线方程为2x,3x4y20,113x+4y－2=0.解3x+4y－2=0与y=2x组成的方程组得，因此圆心4y2x,y,11坐标为(2424，).又半径为r=1，所以所求圆的方程为(x－)2+(y－)2=1. 11111111146y,y,3x4y70,3x4y30,1111与得和方法二：解方程组因此圆心y2x,y2x,73xx.1111坐标为(2424，).又半径r=1，所以所求圆的方程为(x－)2+(y－)2=1. 11111111点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系，把它转化为代数问题来处理. 课堂小结

①圆的标准方程. ②点与圆的位置关系的判断方法. ③根据已知条件求圆的标准方程的方法. ④利用圆的平面几何的知识构建方程. ⑤直径端点是A(x1，y1)、B(x2，y2)的圆的方程是(x－x1)(x－x2)+(y－y1)(y－y2)=0. 作业

1.复习初中有关点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系有关内容. 2.预习有关圆的切线方程的求法. 3.课本习题4.1

A组第2、3题.