4.3.2 空间两点间的距离公式板书设计及意图

4.3.2空间两点间的距离公式

三维目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 教学过程

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距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 提出问题

①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？

⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

⑥试根据②③推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 22讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.

图1 ②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=xyz. 222- 1 -

③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算. 22④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1),是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是222d=(x2x1)(y2y1)(z2z1),即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方. ⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2 ⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出22|MN|=(x2x1)(y2y1). 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|. 在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=(x2x1)2(y2y1)2,根据勾股定理,得(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点|P1P2|=|P1H|2|HP2|2=222P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=(x1x2)(y1y2)(z1z2). 222于是空间两点之间的距离公式是d=(x2x1)(y2y1)(z2z1).它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. 应用示例

例1如图，已知正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为a，M为BD'的中点，点N在AC'上，且|A'N|3|NC'|，试求MN的长．

思维导引：①你能通过解三角形去求解吗？计算是否太繁杂？

②不用解三角形，你能通过建立空间直角坐标系去解决吗？

③如何建系最方便？正方体的特征为我们建系带来怎样的方便？

规范解答：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．

因为正方体棱长为a，

所以B（a，a，0），A'（a，0，a），C'（0，a，a），D'（0，0，a）．

由于M为BD'的中点，取A'C'中点O'，所以M（aaaaa，，），O'（，，a）．

22222因为|A'N|3|NC'|，所以N为A'C'的四等分点，

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从而N为O'C'的中点，故N（a，3a，a）．

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根据空间两点距离公式，可得|MN|(aa)2(a3a)2(aa)26a．

242424变式训练：在空间直角坐标系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，－3），试问在y轴上是否存在点M，满足|MA||MB|？

规范解答：假设在在y轴上存在点M，满足|MA||MB|．

因Ｍ在y轴上，可设M（0，y，0），由|MA||MB|，可得

32y21212y232，

显然，此式对任意yR恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA||MB|．

课堂小结

1.空间两点间的距离公式的推导与理解. 2.空间两点间的距离公式的应用. 3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式. 作业

习题4.3

A组3,B组1、2、3.

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