习题1.2教学设计实例

第7章

立体几何初步

第一节

空间几何体的结构及其三视图和直观图

[考纲传真]

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

1．多面体的结构特征

2．旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

圆台

球

3.三视图的画法

(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

旋转图形

矩形

直角三角形

直角梯形

半圆

旋转轴

任一边所在的直线

任一直角边所在的直线

垂直于底边的腰所在的直线

直径所在的直线

1

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

[常用结论]

1．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下．

2S直观图＝4S原图形，S原图形＝22S直观图．

2．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

3．正棱柱、正棱锥的结构特征

(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．

[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．

(

) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．

(

) [答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2．(教材改编)如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(

) 2

A．棱台

C．五棱柱

B．四棱柱

D．简单组合体

C

[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．] 3．下列说法正确的是(

) A．相等的角在直观图中仍然相等

B．相等的线段在直观图中仍然相等

C．正方形的直观图是正方形

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

D

[根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.] 4．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(

) A．圆柱

C．四面体

B．圆锥

D．三棱柱

A

[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]

5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．

2π

[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，

所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]

空间几何体的结构特征

1．给出下列命题：

3

(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

(4)存在每个面都是直角三角形的四面体；

(5)棱台的侧棱延长后交于一点．

其中正确命题的个数为(

) A．2

B．3

C．4

D．5 C

[(1)不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；(2)正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；(3)正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；(4)正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC，四个面都是直角三角形；(5)正确，由棱台的概念可知．]

2．以下命题：

(1)以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

(2)以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

(3)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

(4)一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 B

[命题(1)错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题(2)错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题(3)对；命题(4)错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．] 3．下列结论正确的是

(

) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成4

的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

D

[A错误．如图①所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．

图①

图②

B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．

C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．] [规律方法]

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

1关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.

2圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.

3棱圆台是由棱圆锥截得的，所以在解决棱圆台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

空间几何体的三视图

►考法1

已知几何体，识别三视图

【例1】

(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(

) 5

(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为(

)

(1)A

(2)D

[(1)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．

(2)由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.]

►考法2

已知三视图，判断几何体

【例2】

(1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(

) 6

A．1

B．2

C．3

D．4 (2)(2019·郑州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．

(1)C

(2)22

[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P-ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.

(2)由三视图可知该三棱锥的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，有一条长度为2的侧棱垂直于底面，所以三条侧棱长分别是2，6，22.故该三棱锥中最长棱的棱长为22.] ►考法3

已知三视图中的两个视图，判断另一个视图

【例3】

(1)一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(

) 7

(2)(2018·衡水模拟)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方1形，且体积为2，则该几何体的俯视图可以是

(

)

(1)C

(2)C

[(1)由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为C.

(2)由该几何体的正视图和侧视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体11π积是2，可知该几何体的底面积是2，由图知A的面积是1，B的面积是4，C的1π面积是2，D的面积是4，故选C.] [规律方法]

1.已知几何体，识别三视图的技巧,已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚.

2.已知三视图，判断几何体的技巧

1对柱、锥、台、球的三视图要熟悉.

2明确三视图的形成原理，“直角本由垂线生，虚线皆因遮挡起”，并能结合空间想象将三视图还原为直观图.

3遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.

4对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚8

线的不同.

(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱棱长为(

)

A．1

B.2

C.3

D．2 (2)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧视图的面积为

(

)

A.3

B．23

C．22

D．4 (1)C

(2)B

[(1)由三视图可知AD＝BC＝CD＝DE＝EB＝1，AE＝AC＝2，AB＝3.所以最长棱棱长为3.

(2)其侧视图为一矩形，其宽为三棱柱底面正三角形的高．所以面积S＝23.] 空间几何体的直观图

【例4】

(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(

) 9

3A.4a2

62C.8a

3B.8a2

62D.16a

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(

)

A．正方形

C．菱形

B．矩形

D．一般的平行四边形

(1)D

(2)C

[(1)如图①②所示的实际图形和直观图，

13由图②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝4a，

26在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝2O′C′＝8a，

1166所以S△A′B′C′＝2A′B′·C′D′＝2×a×8a＝16a2，故选D.

(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.

所以OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，

所以OA＝OC，故四边形OABC是菱形，故选C.] [规律方法]

1.用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可10

以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．

2．平面图形直观图与原图形面积间的关系

对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面2积S′之间的关系S′＝4S，能更快捷地进行相关问题的计算．

(1)(2018·襄阳模拟)如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．

(2)如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.

(1)2＋2

(2)8

[(1)把直观图还原为平面图形得：

在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝2＋1，AD＝1，

1所以面积为2(2＋2)×2＝2＋2.

(2)由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝2 cm，对应原图形平行四边形的高为22 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝222＋12＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.]

11

1．(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(

)

A．217

C．3

B．25 D．2 B

[设过点M的高与圆柱的下底面交于点O，将圆柱沿MO剪开，则M，N的位置如图所示，连接MN，易知OM＝2，ON＝4，则从M到N的最短路径为OM2＋ON2＝22＋42＝25.]

2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(

)

A．10

B．12

C．14

D．16 B

[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形1的面积之和为2×2×(2＋4)×2＝12.故选B.] 12

13