4.3.2 空间两点间的距离公式课件配套优秀获奖教案

空间两点间的距离公式

教学分析

教材类比平面上两点间距离公式得到空间两点间的距离公式，值得注意的是在教学中，让学生了解空间两点间的距离公式的推导思路即可，不必证明．

三维目标

掌握空间两点的距离公式及其应用，提高学生的类比能力和解决问题的能力．

重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式．

教学难点：空间两点间的距离公式的推导．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

设计1.距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离，那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容．

设计2.我们知道，数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点之间的距离是d＝－＋－y.同学们想一想，在空间直角坐标系中，两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式．

推进新课

新知探究

提出问题

回顾平面内两点间距离公式.类比平面内两点间距离公式，得出空间两点的距离公式.

阅读教材，了解推导空间两点距离公式的推导思路，不必掌握.讨论结果：

(1)平面直角坐标系中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝－(2)计算空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是

＋－. d(A，B)＝|AB|＝－＋－＋－. 特别地，点A(x，y，z)到原点O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝x2＋y2＋z2. (3)推导空间两点距离公式的思路是：

过两点分别作三个坐标面的平行平面(如下图)，则这六个平面围成一个长方体，我们知道，长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和．于是，只要写出交一个顶点的三条棱的棱长用坐标计算的表达式，就能导出两点的距离公式．

你还可以作线段AB在三个坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决．(如下图)

应用示例

思路1 例1给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为30. 解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，|P0P|＝30，即－＋12＋22＝30，所以(x－4)2＝25.解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．

点评：本题利用空间两点间距离公式列出了方程，求出了点P的坐标．

变式训练

1．在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)，B(1，－3,1)的距离相等．

解：设M(0,0，z)，由题意，得|MA|＝|MB|，

－＋－＋－＝－＋＋＋－，

整理并化简，得z＝－3，所以M(0,0，－3)．

2．△ABC的三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，试证明△ABC是一直角三角形．

分析：要判定△ABC是一直角三角形，只需求出|AB|，|BC|，|CA|的长，利用勾股定理的逆定理来判定．

解：因为三个顶点坐标为A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0,0，－5)，所以|AB|＝＋＋－2＋＋－3＋＝3＋＋＋＋－5＋＝32，

|CA|＝－＋－2－＋－3＋＝3. 又因为|AB|2＋|CA|2＝|BC|2，所以△ABC是直角三角形．

，|BC|＝思路2 例2已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，则|AB|的最小值为(

) 35A．0

B.7

58C.7

D.7

分析：要求|AB|的最小值，首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|，然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值．

解析：|AB|＝8－7－＋－＋－＝14x2－32x＋19＝535835＋7≥7.当x＝7时，|AB|的最小值为7. 答案：B 点评：利用空间两点间的距离公式转化为关于x的二次函数求最值是常用的方法．

变式训练

在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6,5,1)的距离最小．

解：由已知，可设M(x,1－x,0)，则

|MN|＝－＋－x－＋－＝－＋51.所以|MN|min＝51.

知能训练

1．已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：

(1)线段AB的中点坐标和长度；

(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．

3解：(1)设M(x，y，z)是线段AB的中点，则根据中点坐标公式，得(2，2，3)．

根据两点间距离公式，得

|AB|＝－＋－＋－＝29，

所以AB的长度为29. (2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，

所以有下面等式：－＋－＋－＝－＋－＋－. 化简，得4x＋6y－8z＋7＝0，

因此，到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是4x＋6y－8z＋7＝0. 2．已知正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，平面ABCD和平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0

求MN的长．

分析：建立适当的空间直角坐标系，利用空间两点间的距离公式求MN的长．

解：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABC.∴AB，BC，BE两两垂直．∴以B为原点，分别以射线BA，BE，BC为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系B—xyz，如下图．

∵正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，CM＝BN＝a，

2222∴M(2a,0,1－2a)，N(2a，2a,0)．由空间两点间的距离公式得|MN|＝22a－22＋2－2＋2－2a－＝a2－2a＋1.

拓展提升

如下图，以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．

(1)点P为对角线的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

(2)点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；

(3)点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值．

由以上问题，你得到了什么结论？你能够证明你的结论吗？

解：设正方体的棱长为a. aaa(1)当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是(2，2，2)．

因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)．(其中0≤z≤a)

|PQ|＝a2a＋2－＋a－2＝a－21＋2a2. a2当z＝2时，|PQ|的最小值为2a，

2即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值2a. (2)因为P在对角线AB上运动，Q是定点，所以当PQ⊥AB时|PQ|最短．因为当点Q为棱CD的中点时，|AQ|＝|BQ|，△QAB是等腰三角形，所以，当P是AB的中点时，|PQ|取得2最小值2a. 2(3)当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，|PQ|的最小值仍然是2a. 证明：如上图，设P(x，y，z1)．由正方体的对称性，显然有x＝y. HPHA设P在平面OA上的射影是H.在△AOB中，OB＝OA. z1a－x所以a＝a，

即有x＝a－z1. 所以，点P的坐标是(a－z1，a－z1，z1)．

由已知，可设Q(0，a，z2)，

则|PQ|＝＝－－＋＋z21＋a－2－a2＋2.

a2当z2＝z1＝2时，|PQ|取得最小值，最小值是2a.

课堂小结

本节课学习了：空间两点的距离公式及其应用．

作业

本节练习A

2,3题．

设计感想

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手，创设问题情境，不难把平面上的知识推广到空间，利用类比的思想方法，得到空间两点的距离公式．本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想．把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，提高了能力、培养了兴趣、增强了信心．

备课资料

备选习题

1．已知空间三点的坐标为A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)，若A、B、C三点共线，则p、q的值分别为(

) A．3,2

B．2,3

C．－3,2

D．3，－2 解析：由已知A、B、C三点共线，我们就可以根据它们每两点的斜率相等来求出参数p、q2－14－51－－的值．即有＝＝，从而解得p＝3，q＝2. p－23－4q＋2－1答案：A 2．已知正方体不在同一侧面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是(

) A．16

B．192

C．64

D．48 解析：要求正方体的体积，只要知道它的棱长问题就解决了．根据已知A、B为不在同一侧面上的两顶点，我们可以求出该正方体的对角线长为：

|AB|＝＋＋－2－＋＋＝43，

3∴正方体的棱长为3|AB|＝4. ∴正方体的体积是43＝64. 答案：C