习题3.2获奖说课稿

选修2-1第二章

3.2法向量及其应用（一）

教师：刘欢

班级：高二（8）班

指导老师：杨新华

时间：2017.12.21 教学目标:

1、知识与技能：理解法向量的定义并能求平面的法向量；利用平面的法向量，判断线面平行以及面面平行。

2、过程与方法：

通过求平面的法向量，解决立体几何问题，让学生体会向量是一种处理几何问题的工具；在解决实际问题的过程中进一步渗透数形结合以及方程等数学思想和方法。

3、情感态度与价值观：启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造性地解决问题的能力；并培养学生空间思维能力和逻辑思维能力. 教学重难点:

1、重点:法向量的定义以及求法向量的步骤

2、难点:法向量在线面平行和面面平行中的应用

教学方法：

探究式和启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验，自主探究，形成师生互动的教学氛围。

教学用具：

PPT，希沃白板

教学过程:

一、，温故知新，问题引入 前面我们已经学***面向量的知识，并且已经将平面向量推广到了空间向量，向量已经渐渐成为研究立体几何问题的重要工具了，从今天开始，我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用。

思考：在长方体ABCDA1BC11D1中，AA12AB2BC,E、F、E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点，求证：CE//平面C1E1F

学生分析并思考如何解决问题，教师引导，进入新课。

设计意图：通过旧知识，引导学生学习新的知识。

二、讲授新课

前面我们已经学习了在空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定，若两条直线的方向向量可知，则根据平面向量的基本定理，可以得到确定的一个平面。我们还有什

么方法可以确定空间中平面的位置呢？

平面的法向量：如果有一条直线l和一个平面，且直线l垂直于平面，若取直线的方向向量为n，则⊥n，如果⊥n，那

么

向

量n叫做平面的法向量.

如图，给定一点A和一个向量n，那么过点A以向量n为法向量的平面是完全确定的。

小结：法向量需要注意的几点

1、

法向量一定是非零向量; 2、

一个平面的所有法向量都互相平行; n3、向量n是平面的法向量，向量m是与平面平行或在平面内，则有nm0.

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v，则

线面平行

面面平行



aul

uvauau0

l//

//u//vuv

设计意图：让学生学会如何将文字语言转化成图像语言和符号语言，教学生如何读题。

三、例题讲解

例1、如图所示，正方体的棱长为1，

（1）直线DA的一个方向向量坐标为________

（2）平面ABCD的一个法向量坐标为________

（3）平面ACC1A1的一个法向量坐标为________ 分析：建立如图所示的空间直角坐标系，找出相应的方向向量和法向量，利用向量的运算，求出相应的结果。

（1）DA方向的一个方向向量1,0,0；

（2）平面ABCD的一个法向量为DD1，则DD1的坐标为0,0,1；

（3）平面ACC1A1的一个法向量为DB方向，则DB的坐标为1,1,0

例2、在空间直角坐标系中，已知C10,1,2,E11,,2,F1,1,1，试求平面C1E1F的一个法向量。

分析：根据法向量的定义，需找出两条相交的直线分别与法向量垂直。

解析：设平面C1E1F的一个法向量为nx,y,z，则nC1E1，nFC1

12

1C1E1=1，-,0，FC

0,11=-1,211nC1E10x-y0xy即22取y=2,则n1,2,1

nFC10-x+z0xzn1,2,1是平面C1E1F的一个法向量

总结：求平面法向量的步骤（待定系数法）

（1）建立空间直角坐标系；

（1）设平面的法向量为nx,y,z；

（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标aa1,b1,c1,ba2,b2,c2；

na0a1xb1yc1z0即（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

；

axbycz022nb02（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。

设计意图：让学生了解在立体几何中如何求直线的方向向量和平面的法向量；并清楚了解求法向量的步骤和熟练求解平面的法向量。

问题再思考：

在长方体ABCD11A1B中C，DAA12AB2BC,E、F、E1分别是棱AA1,BB,1AB1

的中点，求证：CE//平面C1E1F

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，以DA，DC，DD1方向为x轴，y轴，z轴，设BC=1，则

1C0，1，0，E1，0，，1C10,1,2,E11,,2,F1,1,1

2设平面C1E1F的一个法向量为nx,y,z，则nC1E1，nFC1

1C1E1=1，-,0，FC1=-1,0,1

211nC1E10x-y0xy即22取y=2,则n1,2,1

nFC10-x+z0xz又CE1，11，，nCE

nCE1210，又CE平面C1E1F，CE//平面C1E1F

四、课堂训练: 练习1：

设平面,的法向量分别为u,v，根据下列条件判断,的位置关系：

（1）u2,2,5,v6,4,4

（2）u1,2,2,v2,4,4

（3）u2,3,5,v3,1,4

分析：（1）uv0；（2）2uv//；（3）uv29与相交

设计意图：让学生充分了解法向量在线面中的应用以及如何求解。

练习2：

如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，M,N分别是CC1,B1C1的中点，

求证：（1）MN//平面A1BD

（2）平面AB1D1//平面C1BD

分析：（1）用立体几何中线面平行和面面平行的性质来求证；

（2）利用空间向量的基本定理来求证；

（3）利用法向量与直线平行来证明线面平行。

第一问：方法1：

证明：正方体ABCDA1BC11D1，且M,N为C1C,BC11中点，

连接BC1，则BC1//MN

又又

A1DCB1为平行四边形

A1D//B1C

MN//A1D

MN平面A1BD，DA1平面A1BD

MN//平面A1BD

方法2：

建立如图所示的空间直角坐标系，以DA，DC，DD1方向为x轴，y轴，z轴，设正方体的棱长为1，则

1111，于是M0，1，，N,11，，D0，0，0，B11，，0，A1，0，1MN1,0,

2222设平面A1BD的一个法向量为nx,y,z，则

nDA10xz0xz即,取x=1,则n1,-1,-1

nDB0x+y0xy11又MNn=,0,1,-1,-1=0，MNn

MN//平面A1BD

22第二问：如何证明平面AB1D1//平面C1BD，方法分析：

（1）利用立体几何知识求证，证明AD1//平面C1BD,同理证明AB1//平面C1BD，从而证明平面AB1D1//平面C1BD；

（2）利用法向量知识，先求出两个平面的法向量，再证明两个法向量平行即可。

设计意图：一题多解，让学生充分运用已有的知识和新知识求解立体几何问题，学会举一反三。

四、课后思考

PD平面ABCD，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PDDC,E是的PC中点，求证：PA//平面EDB

分析：线面平行，可以运用多种方法进行求解

设计意图：熟练运用新知识求解问题，培养学生独立思考的逻辑思维能力。

五、课堂小结

1.求法向量的步骤:（1）建立空间直角坐标系

（2）设法向量

（3）找两不共线向量

（4）建立方程组

（5）写出一个法向量

2.法向量在线面平行和面面平行中的运用。

3.数学思想：数形结合，方程思想

六、布置作业

如图，正方体ABCDA1BC11D1的棱长为1，E、F、H分别是棱的中点，O是B1D1的中点，

求证：(必做)C1H//平面ADE

（选做）D1F平面ADE

七、板书设计

3.2法向量及其应用（一）

法向量定义：

例题1

练***行

例题2

练***行

问题思考

求法向量的步骤：

八、教后反思

本节课主要关于法向量的求法以及运用为主，在数形结合，待定系数法以及方程思想的方面教会学生如何来进行思考，培养学生的逻辑思维能力。

本节课从一道思考题引入正题，思考题中不能迅速的找到线线平行，这就为我们今天求法向量埋下伏笔，引出新课，这里不足之处在于没有给予学生更多的时间来考虑很分享思路，只是简单的展示了三位同学的做法，由此忽略了更多其他的方法，在此之后需要改进。

在新课讲解的过程中，采取文字语言、图形语言与符号语言相互转化来进行讲解，这对于学生以后读题很有帮助。

在例题讲解时，采用由易到难，循序渐进的方式，引导学生一步步学会如何求解法向量以及法向量的运用。这里的不足之处在于时间的分配不够合理，在学生练习方面需要给予更多的时间，课堂需要以学生为主，老师为辅。

这堂课是高中数学组所有老师的共同探讨下完成的，非常感谢各位老师的付出，辛苦了！通过这堂课，我学到了很多，这对我以后的教学有很大的帮助。