习题4.2教学实录及点评

长沙市雅礼中学高数组李云皇老师教案专集——直线和圆的方程

课题：直线与圆的位置关系

教学目的

教学重点

教学难点

教学方法

1．掌握直线与圆的位置关系的判定方法；

2．掌握求圆的切线和弦长的方法；

3．学会用方程和数形结合的思想处理问题

直线与圆的位置关系的判定和弦长的求法

直线与圆的位置关系的应用

讲练结合的互动式教学法

教学过程

一

直线与圆的三种位置关系：（幻灯片给出）

（1）

相离； （2）相切； （3）相交

方法

和

手段

复习引入

r d r d P 互动练习（一）

r B d A 1．直线y=x+1与圆x2y24的位置关系是 . 2.已知直线L：y=x+b与圆C：x2y24

（1）b为何值时，L与C相交；

（2）b为何值时，L与C相切；

（3）b为何值时L与C相离。

课堂练习例题讲解

y O x

yxb解法一：由2消去y 2xy4得： 2x2+2bx+b2-4=0 ①

方程①的判别式⊿=(2b)2-4×2(b2-2)=4(22+b)(22-b). （1）当-220,这时方程组有两个不实数解，

直线与圆相交；

（2）当b=22或b=-22时, ⊿=0,这时方程组有两个相同的

实数解，因此直线与圆的两个交点重合为一点；直线与圆相切；

（3）当b>22或b<-22时，⊿<0，这时方程组没有实数解，

因此直线与圆没有交点，直线与圆相离。

解法二：圆x2+y2=4的圆心为（0，0）,半径为2，

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圆心到直线的距离d|b|2

y O x （1）当-22

（2）当b=22或b=-22时, d=r, 直线与圆相切；

（3）当b>22或b<-22时，d>r，直线与圆相离。

小结一

二．直线与圆的位置关系的判定方法：

2+(y-b)2=r2，设直线l:Ax+By+C=0，圆C:（x-a）圆心C（a,b)到直线l的距离为d,联立直线与圆的方程得方程组，再消去x（或y）后，所得一元二次方程根的判别式为△，则有：

相交

相切

相离

几何法

dr 代数法

Δ>0 Δ=0 Δ<0 互动练习（二）

3．求过A(2,32)且与圆x2y24相切的直线方程。

分析：可由d=r求解，也可由△=0求解，也可以先求切点坐标。

法一：

设切线方程为y-32=k(x-2), （因为切线显然斜率存在），即kx-y-y 2(k-3)=0, A O x |k0102(k3)|1kk1或k7得切线方程为

22

x-y+22=0或7x+y-102=0

法二：法一：

设切线方程为y-32=k(x-2), （因为切线显然斜率存在），即y =kx -2(k-3) , 代入x2+y2=4，得

(1k2)x222k(k3)x2k212k140

由△=8k2(k-3)2-4(k2+1)(2k2-12k+14) y A O x

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=8k248k560,得

即得切线方程为

x-y+22=0或7x+y-102=0

法三：设切点为（x0,y0）

y032y01（1）x02x022（2）x0y04由（1）得x0y032y02x0(2)(3)，得x0223y0（4）代入（2）得72xx0205或y2y0205（4）22(3)

由两点式易得切线方程为

x-y+22=0或7x+y-102=0

4．已知直线x-y+1=0与圆x2y24相交于A,B两点，求弦长|AB|的值

解法一：（求出交点利用两点间距离公式）

xy10由2消去y2xy4得2x22x301717,x222

1717y1,y22217171717A(,),B(,)2222|AB|14x1法二：（弦长公式）

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xy10由2消去y2xy4得2x22x303x1x21,x1x223|AB|(112)[(1)24()]142

解法三：（解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）

设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则

d111221142

|AB|2r2d224小结

三．直线与圆的位置的主要应用：

1．求圆的切线（注意讨论直线的斜率的存在与否）利用d=r或Δ=0 2．求圆的弦长方法

（1）几何法：解弦心距，半弦及半径构成的直角三角形

（2）代数法：用弦长公式(1k2)[(x1x2)24x1x2]

互动练习（三）

5．已知实数x,y满足x2y21，求y-x的最大与最小值

解法一：设y-x=b则y=x+b,代入已知，得

2x22bxb2404b28(b24)4(b24)0

22b22提高与创新

yx的最大值为22，最小值为22

解法二：

令yxbx2y21表示一个圆，且b可视为直线yxb的截距由图象可知，切线的截距最大与最小，易求得切线的截距为22，yx的最大值为22，最小值为22

解法三：

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x2cos令y2sin则yx2sin2cos22sin()4

yx的最大值为22，最小值为22

6．若关于x的方程xm1x2有两个不同的实数解，求m的取值范围

解法一：

由xm1x2，得2x22mxm2104m242(m21)

4m2802m2解法一是否错误？请说明理由。

解法二：令y1xm,y21x2

方程有两解直线y=x+m曲线y1x2有两个交点，

注意到曲线y1x2是半圆

结合图形可知：

1m2

小结三：直线与圆的位置的拓展：

它是代数与几何的一个结合点（数形结合）

小结与作业

1．处理直线与圆的位置问题的主要方法有：

课堂

（1）方程方法（利用△）；（2）几何方法（利用距离关系）

小结

2．方程的思想和数形结合的思想是处理解析几何的基本思想。

达标练习

1．自点A(－3,3)发出的一条光线射在x轴上，被x轴反射，其反射光线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求入射光线所在的直线方程。

本课

2．过圆(x1)2(y2)21外一点M(2,1)作圆的切线，求圆的作业

切线方程

3．已知圆C：x2(y1)25，直线L：mx-y+1-m=0 (1)根据m的取值范围，讨论L与C的位置关系

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(2)求被截的最短弦长

4．实数x、y满足(x2)2y21，

（1）求y2的最大值和最小值。（2）求x-2y的最大值和最小x1板书

设计

值。

一．直线与圆的三种位置关系：（幻灯片给出）

（1）相交；（2）相切；（3）相离

二．直线与圆的位置关系的判定方法：

相交

相切

相离

几何法

dr 代数法

Δ>0 Δ=0 Δ<0 三．直线与圆的位置的应用

1．求圆的切线（注意讨论直线的斜率的存在与否）利用d=r或Δ=0 2．求圆的弦长方法

（1）几何法：用弦心距，半径及半径构成直角三角形的三边

（2）代数法：弦长公式：(1k2)[(x1x2)24x1x2]

3．解决代数问题（数形结合）

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

今天是对昨天的超越