习题2.1第一课时教学设计

成都七中第三十届教育教学研讨会

课题：异面直线及其夹角

【授课教师】：肖国红

【授课班级】：高2010级11班

【教学目标】：

1、理解异面直线的概念，并能从正方体、长方体模型中直观感受什么是异面直线；

2、理解异面直线所成角的定义，并掌握其求解方法。

3、通过该课的学习，掌握异面直线的画法，进一步培养学生的空间想像能力。

【教学重、难点】：

1、重点：（1）异面直线的概念；（2）异面直线所成角的定义及求解方法。

2、难点：（1）异面直线的判定；（2）求解异面直线的夹角。

【教材分析】：

1、“异面直线及其夹角”是全日制普通高级中学教科书（必修人民教育出版社）第二册（下B）第九章第二节“空间中的平行直线与异面直线”的第二课时，主要的内容是认识异面直线以及掌握异面直线夹角的定义和求解方法。

2、“异面直线及其夹角”是第九章《直线、平面、简单几何体》的重点内容之一。通过对异面直线及其夹角的学习，可以进一步发展学生的空间想象能力，拓展学生的思维空间；本节课所渗透的“将空间转化为平面”思想不仅是这节课的重要思想方法，也是立体几何学习的重要思想方法。同时，通过该节课的学习，为以后学习空间中直线和平面以及平面和平面的关系打下基础。

【学生分析】：

1、立体几何对学生来说是一个全新的板块，目前已学***面的基本性质，会画一些简单立体图形的平面直观图，虽然对该章的知识还很有限，但对长方体、正方体模型已经是非常熟悉了。

2、目前所学的立体几何的知识很有限，对空间中的点、线、面关系的认识还处于对几何图形的直观感受，缺乏严密的逻辑推理能力和空间想像能力，没有完整的空间几何体系，空间意识淡薄。

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【教学过程】：

★教学环节一：创设情景，提出问题

试一试；用两支笔或两根手指看成两条直线，能摆出哪些不同的位置关系？

〔设计意图〕：通过摆放两条直线，让学生自己去探索，空间中两条直线的位置关系除了平行和相交以外，还存在着另外的位置关系，从学生的观察中引出本节课的内容。

★教学环节二：新课讲解

1、异面直线的概念

平面内，两直线的位置关系只有两种——相交和平行，在空间中，两条直线的位置关系除了相交、平行外，还有第三种情况——异面直线，即不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

让学生观察正方体模型，并从模型中举出三种位置关系的例子。

提问：直线AA1与CC1是异面直线吗？AA1与BC是异面直线吗？

〔设计意图〕：观察实物模型，并从长方体的内部（教室模型）和外部（实物模型）去直观感受什么是异面直线，加深对异面直线的理解。

例举生活中异面直线的例子：

（立交桥）

（塔吊横梁）

（探照灯灯光）

2、异面直线的判定方法

异面直线与平行线和相交线的不同点是：是否在同一平面内，所以，我们可以借助于一个平面来判断两条直线是否是异面直线。

异面直线的判定方法：连接平面内一点与平面外一点的直线，

和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

B •

A •

l 

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已知：B,A,,l,Bl，

结论：直线AB和直线l是异面直线

（让学生表述其证明过程）

再利用长方体模型举例验证。

〔设计意图〕：异面直线的判定是本节课的难点之一，引导学生利用异面直线的定义从反面来进行论证，在通过举例验证，强调判定方法中条件缺一不可。

3、异面直线的画法

（教师摆出两条异面直线，让学生思考如何画出这两条异面直线）

异面直线的判定实际上给我们提供了异面直线的画法，我们可以借助于一个平面表达两条异面直线不在同一平面内，所以我们在画两条异面直线的时候，可以用一个平面来衬托这两条异面直线不在同一个平面内。



b a b a 

a b 



画法一 画法二 画法三

4、异面直线的夹角

首先教师摆出不同距离的两条平行直线，并提问，它们之间有差异吗？我们怎样来体现这种差异？（平行线间的距离）；再摆出不同角度的两条相交直线，并提问，它们之间有差异吗？怎样区分这种差异？（相交线的夹角），最后摆出不同的两组异面直线，并提问，它们之间有差异吗？如何体现？（从而引出异面直线夹角的定义）

（和学生一起讨论异面直线夹角的探索过程）

异面直线夹角的定义：两条异面

直线a、b，在空间中任选一点O，过

O点分别作直线a、b的平行线a1、b1, 则两相交直线a1、b1所成的锐角（或

直角）所成角为异面直线a、b所成

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a b 

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的角（或夹角）。

特殊的，若两条异面直线的夹角为90°，则称作两条直线互相垂直记为ab。

思考：异面直线夹角的取值范围是多少？(0,2]

为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，这时只需平移另外一条直线至相交即可。

异面直线所成角是确定两条异面直线相对位置的重要参数，想一想，两条异面直线的夹角确定以后，这两条异面直线的相对位置是否就唯一确定？课后思考：如何确定两条异面直线的相对位置？

★教学环节三：例题分析

例1：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如图，

（1）AC1与BD是异面直线吗？AC1与DB1呢？

（2）哪些棱所在直线与直线AA1是异面直线且垂直？

解：（1）AC1与BD是异面直线

A A1

D B D1

B1

C C1

A面ABCD，C1直线BD，

面ABCD，直线BD面ABCD，且AAC1与DB1不是异面直线，因为它们同在平面AB1C1D内

（2）棱所在直线与直线AA1是异面直线且垂直的有BC、CD、B1C1、C1D1。

〔设计意图〕：让学生从熟悉的长方体模型中，辨别哪些是异面直线，目的是巩固加深学生对异面直线及异面直线垂直的理解。

例2：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB上的中点，

D1

（1）求异面直线AD1与BB1所成角大小；

A1

（2）求异面直线AD1与A1C1所成角大小；

（3）求异面直线AD1与CE所成角大小；

解：（1）BB1//AA1

D G A E H C F C1

B1

E A1AD1为异面直线AD1与BB1的夹角

在RtA1AD1中，A1D1=AA1=1，tanA1AD11，即A1AD14B

（2）在平面AA1C1C中过A点作A1C1的平行线，即连接AC，连接CD1

AC//A1C1

且D1AC90

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D1AC为异面直线AD1与A1C1的夹角

在ACD1中，AC=CD1=AD1=2， 所以D1AC＝

3（3）取CD的中点F，连接AF，

因为E、F为棱上中点，所以CE//AF，

所以D1AF为异面直线AD1与CE的夹角，

连接FD1，在AFD1中，AD1＝2，AD1=AF=10, 510即异面直线AD1与CE的夹角为arccos

5所以由余弦定理得cosD1AF异面直线夹角的求法及步骤：

5， 2（1）将两直线平移至相交，找出两条相交线所成角；（先观察图形中是否有现成的平面角，再观察能否平移其中一条至相交，最后考虑两条直线同时平移）

（2）解三角形（解直角三角形或斜三角形）。

〔设计意图〕：该题三个小问三个类型，分别解直角直角三角形、正三角形和斜三角形，意在强化如何做出两条异面直线的夹角，强化将空间问题转化为平面问题的重要数学思想，这也是为以后学习二面角打下基础。

例3（备选）：在空间四边形ABCD中，BCD是边长为4的

正三角形，AB=AC=AD=5,且ADBC，E、F分别是AC、BD 的中点，求异面直线EF与BC所成角大小。

解：取AB的中点G，连接EG、FG，

G C B F D A E EG//BC,GEF为异面直线EF与BC所成角

又FG//AD,ADBC

EGFG

在RtEFG中，EG2,FGtanFEG55，即异面直线EF与BC所成角为arctan

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2★教学环节四：小结

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总结本节课所学主要内容：

1、异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线；

提问：异面直线和平行直线的相同之处在哪儿？不同之处在哪儿？

2、异面直线的夹角：将两直线平移至相交，相交直线所成角为异面直线所成角；所以异面直线所成角的范围是(0,2]；

3、异面直线所成角的求解方法：平移至相交，然后解三角形。

★教学环节五：课堂练习

练习1：画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使

它们成为：

（1）平行直线； （2）相交直线； （3）异面直线

（可让学生上台演示）

〔设计意图〕：让学生动手画出空间中的两条直线的三种位置关系，目的之一是让学生进一步明确三种位置关系的空间画法及它们之间的相同和不同之处，目的之二是通过学生动手训练学生的空间想像能力。

练习2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB（1）求直线A1C1和BD所成角大小；

（2）求直线BD和AD1所成角大小. 答案分别是：D1

B1

D A B C C1

3，BC=AA1=1， A1

2、arccos

34★教学环节六：课后作业

习题9.2：4～7题

【教学说明】：

1．异面直线的概念、异面直线的画法、异面直线所成角是本节课的重点，也是难点内容，突破这些难点对培养学生的空间想像能力有十分重要的作用，本节课的要点是让学生过手，为此我在教学过程中设置的学生主要活动有：

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（1）让学生把两支笔作为两条直线，自己探索空间中两条直线存在的位置关系，从学生的活动中引出所讲内容，让学生初步认识异面直线。

（2）有了异面直线概念以后，让学生例举生活中的与异面直线有关的例子，加深对异面直线的理解；在引出异面直线夹角的定义时，让学生充分参与讨论、探索、发现，让学生自觉的和前面的相关知识练习起来，从而体现了知识的连贯性和合理性。

（3）例题、练习让学生过手，进一步巩固本节课所学知识，同时训练学生的运算能力；

2．为了帮助学生对异面直线的理解，在教学活动中充分利用正方体、长方体模型突出几何直观，引导学生从长方体的外部和内部来感受异面直线。

3．在实际的教学过程中，学生对异面直线的概念能够理解，虽然在课堂中进行了对异面直线画法的训练，但是要画出异面直线仍是一难点，在后续的教学中可进一步突破。

4．异面直线所成角的计算涉及到解斜三角形，通过后续的学习，还可以利用空间向量来解决，在本节课只进行了初步的计算练习，在后续学习中还要加强和提高。

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