复习参考题教学设计

立体几何——《复习参考题》

南京市中华中学

薛安定

教学目标：

1．理解空间直线、平面位置关系的定义；

2．了解可以作为推理依据的公理和定理；

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题；

4．能对简单的空间的角和距离进行计算．

教学重点、难点：

1. 空间平行与垂直关系的转化；

2. 空间的角和距离的计算. 教学过程：

立体几何主要是对空间的点、线、面进行两个方面的研究，一是定性的证明——研究平行与垂直等关系，二是定量的计算——研究空间的角、距离、面积、体积等。今天的课，我们对这个阶段立体几何的研究进行一个总结与归纳。

一、首先回顾一下空间直线、平面有哪些位置关系：

直线与直线的位置关系：相交、平行、异面；

直线与平面的位置关系：线面平行、线面相交、线在面内；

平面与平面的位置关系：平行、相交．

由学生群答的形式，回顾空间直线、平面的位置关系. 二、下面我们来梳理一下证明空间位置关系的方法：

三种平行关系的转化:

线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.

已知a，b，l是直线，α，β，γ是平面，O是点，则

线线平行

1

a∥l⇒a∥b，b∥l

a∥αa⊂β⇒a∥b，α∩β＝b

a⊥α⇒a∥b，b⊥α

α∥βα∩γ＝a⇒a∥b. β∩γ＝b线面平行

a∥bb⊂α⇒a∥α，a⊄αa⊂α

α∥β⇒a∥α. a⊂β面面平行

a∩b＝O⇒α∥β. a∥βb∥βb⊂α线面垂直

面面垂直

三种垂直关系的转化:

线线垂直

线线垂直

a⊥la⊥α⇒a⊥b，⇒a⊥b. b⊂αb∥l

线面垂直

a⊂αa∩b＝O

⇒l⊥α，l⊥al⊥bb⊂α

α⊥βα∩β＝la⊂αa⊥l

⇒a⊥β. 面面垂直

a⊂β⇒α⊥β. a⊥α以学生口答的形式，总结空间平行与垂直的位置关系的判断依据，这些依据是以后进行证明和判断的方法，可以直接应用这12个结论，课堂上进行板书，加深学生对这些定理性质的印象。不在这12个中的结论，即使正确，在证明时2

也不能直接应用. 三、下面，我们再来回顾一下角的相关概念：

异面直线所成角

若a、b是异面直线，经过空间任意一点O，做直线a′//a，b′//b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a、b所成的角. 线面所成角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

二面角的平面角

在二面角的两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

回顾空间的相关角的概念，这些定义是我们以后进行相关计算时的方法，即空间的角要转化为相交直线的角的问题来处理.对于空间的距离问题，除了初中已有的距离计算方法，最主要的是点与平面的距离. 四、下面我们从具体的应用来检验大家对知识的掌握情况：

例：一个正方体的平面展开图如图所示，AB＝1. (1) 以正方形ABCD为下底面，画出该正方体还原后的直观图的示意图，将字母E，F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

解

点F，G，H的位置如图所示.

(2)判断正方体中直线BG与AH的位置关系；

解

平行

(3)求正方体中直线BE与AC所成角的大小；

解

60°

(4) 判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；

解

平面BEG∥平面ACH，

HEFDABG3

C

证明如下：因为ABCD－EFGH为正方体，

所以BC∥FG，BC＝FG，

又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，

于是四边形BCHE为平行四边形，

所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，

所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，

所以平面BEG∥平面ACH. (5)求证：FD⊥平面BEG；

证：

同理可得：FDHEDANFGHEDABMFGCBC⊥平面ACH．

(6)求证：FD与平面BEG的交点M是△BEG的重心；

求点F到平面BEG的距离；

解

正三角形中，四心合一．

求点到面的距离，法一：找到射影再计算；法二：等体积法

3答案：3，点M是体对角线的三等分点．

HEDABF(7)求直线EG与平面ACH之间的距离；

解

线面平行时的距离，转化为点面距来求，

即求点E到平面ACH的距离，

3利用等体积法，VE-ACH＝VC-AHE，可得答案：3．

GC3或由上题，平行平面BEG与ACH之间的距离为3，3可得点E到平面ACH的距离为3．

4

(8) 求直线FH与平面ACH所成角的正弦值；

解

HEDABFHGGFEDANCB6．

3C∠FHN即为直线FH与平面ACH所成角，答案：(9)三棱锥F-ACH是一个特别的三棱锥，它的每个面都是等边三角形．你能在图中找到一个三棱锥F-***，它的每个面都是直角三角形吗？

解

比如三棱锥F-ABD等．

HEDABFGC以学生熟悉的正方体为载体，研究本节课的重难点问题，空间平行与垂直关系的转化及空间的角和距离的计算. 五、练习：

1．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3．蚂蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则蚂蚁爬过的路程最短为________．

解析：将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开如图所示，则有A′A′1＝3，AA′1＝AA22＋A′A′1＝310.所以蚂蚁爬过的路程最短为AA′1. 5

答案：310 2．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A－BCD，则在四面体A－BCD中，下列说法正确的是(

) A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ACD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BCD

D．平面ACD⊥平面ABD

答案：D 解析：由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC.因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD. 平面图形折叠问题的求解方法

(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．

(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

六、小结：

知识：以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等．

能力和核心素养：空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．

思想方法：转化化归思想与数形结合的思想方法．

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