3.1.3 导数的几何意义名师教学视频（文字实录）

龚

明

如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无xnx0x0限趋近于切线PT的斜率k，即klimf(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:

①与该点的位置有关;

②要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)k

x[来源学科网]说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

x0②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limf(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点x(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

即:

f(x)ylimx0f(xx)f(x)

x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

①函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

②函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数

[来源:Zxxk.Com][来源学科网]③函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函

数在点x0处的导数的方法之一。

三．典例分析：

2例1:（1）求曲线y=f(x)=x+1在点P(1,2)处的切线方程.

2（2）求函数y=3x在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

（2）求函数f(x)=xx在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

2y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x3练习：（1）曲线yx1在x1处的切线方程为___________。[来源:学科网]

（2）曲线yxlnx在点（1，0）处的切线方程为

。

例2．求过点(1,2)与曲线yx3x5相切的直线方程。

练习：已知曲线y2134x，求曲线过点(2,4)的切线方程。

33设计：通过例1，与例2的讲解，让学生感受曲线在某点处的切线与过某点的切线的区别。

四．课堂评价：

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线 。

，f(1))的切线方程是yx2，则2.

已知函数yf(x)的图象在点M(1处f(1)f(1) ．

33.设函数f(x)x3axb(a0)若曲线yf(x)在点(2,f(2))处与直线y8相切，

则ab的值为

。

4.曲线y134xx在点1，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为

．

33五．回顾总结：

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义。

六．布置作业：

[来源:学&科&网Z&X&X&K]