3.3.4 两条平行直线间的距离名师教学视频（文字实录）

第三章

直线与方程

3.3.4

两条平行直线间的距离

一、教材分析

《两条平行直线间的距离》是人教A版数学必修二第三章最后一节的内容，求两条平行直线间的距离，可转化为求点到直线的距离。

点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。

点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富。除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法，因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离。”

二、学情分析

8班的学生基础较好，但对于一些基础的计算容易忽视，希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，提升学生的计算能力，培养学生的发散思维。

三、教学目标与核心素养

1.

教学目标：

①推导点到直线的距离、两条平行线间的距离公式；

②会用距离公式解决实际问题。

③培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新。培养学生勇于探索、善于研究的精神。

2.

学科素养：

①数学抽象：点到直线的距离、两条平行线间距离公式的推导方案；

②逻辑推理：推导点到直线的距离、两条平行线间的距离公式；

③数学运算：点到直线的距离、求两条平行线间的距离；

④直观想象：将两平行线间的距离转化为点到直线的距离；

四、教学重难点

教学重点：点到直线的距离、两平行直线间的距离公式的推导、应用；线线距与点线距的转化；

教学难点：点到直线的距离、两平行直线间的距离的求法及灵活应用。

五、教学方法

多媒体教学，根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合。

六、教学过程

㈠、复习回顾

两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离：

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12

㈡、导入新课

1、点到直线的距离公式

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax+By+C=0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l

的距离呢?

其中AB0。

第一探：你能推出Px0，y0到直线l:AxByC0的距离吗？

你最容易想到的方法是什么? 点到线的距离转化为求两点之间的距离，即求PQ两点的距离。

lPQ:yy0B(xx0)A

Byy0(xx0)AAxByC0

B2x0ABy0AC

A2y0ABx0BCQ,2222ABAB上述方法虽然思路十分自然，但具体运算需要一定的技巧，计算难度较高。

其中AB0。

第二探：你能推出Px0，y0到直线l:AxByC0的距离吗？

解：

RBy0C,y,Sx,Ax0C00B

Ax0By0CByCPRx00

AA

RS

设PQ=d

dRSPRPS

2APSy0Ax0By0CAx0CBB2PRPSA2B2Ax0By0CABdPRPSRSAx0By0CA2B2所以P(x0，y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：

d|Ax0By0C|A2B2问：点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？

答：仍然适用。

①

当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，

CC|By0＋C|即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式. BB|B|②

当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，

CC|Ax0＋C|x＝－A，d＝|x0＋A|＝|A|，适合公式.

练习1

⑴、求点P(2，－3)到下列直线的距离．

41①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3。

33(2)、求过点M(－1，2)，且与点A(2，3)，B(－4，5)距离相等的直线l的方程．

41解

(1)①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，

33|4×2－3×－3＋1|18点P(2，－3)到该直线的距离＝；

2254＋－3②3y＝4可化为3y－4＝0，

|－3×3－4|13由点到直线的距离公式得＝；

302＋32③x＝3可化为x－3＝0，

|2－3|由点到直线的距离公式得＝1。

12、两条平行直线间的距离公式

两条平行直线间的距离是指：夹在两条平行直线间的公垂线段的长。

平行线间的距离处处相等

思考：直线l1:2x7y80

与直线l2:2x7y40平行，则他们之间的距离为____________．

分析：在l2

上任取一点，例如M(2，0)，则M到l1

的距离等于l1与l2的距离，平行直线间的距离转化为点到直线的距离。

解：取l2与x轴的交点M，则M(2，0)

点M到直线l1的距离为：

d|22708|22(7)2125353所以平行线l1与l21253的距离为53。

例1、已知直线l1:2x-7y-8=0与l2:6x-21y-1=0，

试判断l1与l2平行吗？若平行，求l1与l2的距离。

分析：

1、判断两线平行应分别求出它们的斜率。

2、在一条直线上选择恰当的点，最好选择坐标为整数的点。

3、利用点到直线的距离公式求解。

总结公式：

证明：设过点P且与直线l2平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令x=0，得P(0，C1)。

B|B(∴d=C1)C2||CC1|B2。

2222ABAB即两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=练习2 |C1C2|AB22。

1、(1) 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为____________．

(2) 已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．

答案

(1)10

(2)2x－y＋1＝0 46m解析

(1)由题意得＝，

31∴m＝2，

将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，

由两平行线间距离公式得：

|－1＋6|62＋22＝510＝。

440(2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，

由题意知：得c＝1，

∴直线l的方程为2x－y＋1＝0。

2、(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；

(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1，0)，P2(0，5)，若l1与l2距离为5，求两直线方程．

解

设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，

由两平行直线间的距离公式得2＝解得C＝32，或C＝－20，

故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0。

(2)依题意，两直线的斜率存在，

设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，

l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0。

因为l1与l2距离为5，

|－k－5|所以2＝5，

k＋15解得k＝0或。

12所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0。

，

52＋－122|C－6||3－c|2＋122＝|c＋1|2＋122，

(3)

分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的

距离是________．

【解析】

d＝|3－(－2)|＝5.

点评：通过这三道简单的例题，使学生能够进一步对两条平行直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

引申探究

利用距离公式求最值

221、已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则xy2y1

的最小值为________。

22解析

∵xy2y1＝x0y122，

∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0，1)的距离，

即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，

∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，

即|MN|min＝d＝|8－1|62＋82＝7。

10七、课堂小结

1、平面内一点P(x0，y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式是

dAx0By0CA2B22、两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式是：

dC1-C2A2B2

八、课后作业：黄皮148页

九、教学反思

十、板书设计

两条平行直线间的距离

一、点到直线的距离公式

二、两条平行直线间的距离公式

点到直线的距离公式推导过程：

两条平行直线间的距离公式推导过程：