习题4.2优质教案设计

一、知识回顾

[问题1]师：请一位同学帮我们复习一下上节课学习的判断直线与圆的位置关系的方法？

[学情预设]

生：①（将直线方程与圆方程联立，消去一个未知数，整理成一个一元二次方程）判

别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系. 师：

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种，若dAaBbCA2B2

直线与圆的位置关系（二）相交问题

，

则dr相离0 ; dr相切0 ; dr相交0.

师：如何求过一个点的圆的切线方程呢？

生：求切线需先判定点与圆的位置关系。点在圆上时，利用点和圆心的连线垂直于切线；点在圆外时，用圆心到直线的距离等于半径

，切线有两条，有时需找回斜率不存在的切线. 师：如何求切线长呢？

生：一般要用切线长、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；

设点P(x0,y0)在圆C:(xa)(yb)r外，

过点P作圆C:(xa)(yb)r的切线，切点为M，

则|PM||PC|r(x0a)(y0b)r

师：

这节课我们继续研究相交问题

[教师在黑板上画图及板书（相交问题）]

二、展示要求，设立目标

1、圆与方程（选自《2016考试大纲》）

(1)、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；

(2)、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；

(3)、初步了解用代数方法处理几何问题的思路.

2、本节课的目标

本节主要复习“直线与圆相交”的问题. (1)

能求圆的弦长，知道半弦、半径和弦心距之间的关系；

(2)

掌握过圆内一定点弦的最值问题；

(3)

能在不同情境下解决与圆相交有关的问题. 22222222222

三、典型例题

例一、⑴已知过点M(3，3)且斜率为-4的直线l与圆C:x2y24y210相交于3A,B两点，则AB

[设计意图] 让同学们体会利用圆中的几何性质，垂径定理，找到半弦、半径和弦心距之间

的关系。

解：设直线l:y3-（x3），即4x3y210，

43r5

-2）圆C:x2（y2)225

圆心C（0，

由圆心到直线的距离d-62142323得lAB2r2-d2252-328

⑵已知过点M(3，3)的直线l被圆C:x2y24y210所截得的弦长为8，求直线l

的方程．

[学情预设] 学生应该普遍会漏直线斜率不存在的情形

[设计意图] 培养学生思维的严谨性，强调选择使用点斜式或斜截式设直线方程时，就选择

了分类讨论，要考虑斜率不存在的情形是否满足题意；另外，由对称性可知过圆

内一定点的直线l，被圆所截得的弦长为定值（非直径），符合条件的直线有两条。

解：

当过点M的直线的斜率存在时，设直线l:y3k（x3，即kxy3k30，

）2r5

-2）圆C:x（y2)225

圆心C（0，

由圆心到直线的距离d3k1l4r2（-)225-163得k3

2k21此时直线方程为4x3y210；

当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x3，圆心到直线的距离d3，

l2r2-d2252-328

合乎题意

综上，直线l

的方程为4x3y210或x3

变式1：【几何画板】已知过点M(3，3)的直线l被圆C:xy4y210所截得的弦长为a，则a的取值范围为

[学情预设] 学生可能会直接把直线方程设出来，把弦长表示出来。但运算能力不过关，算

不出来。或者想利用几何关系，转动直线，但不知道有什么用？

[设计意图] 由半弦、半径和弦心距之间的关系，因为半径是定值，弦长越短，弦心距越

长。通过数形结合，获取结论。

22

[解题思路] 当l圆心C时，弦长最长；

当CMl时，弦长最短。a的取值范围为215，10

变式2：已知直线l:kxyk20将圆C（:x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=

[设计意图] 由劣弧所对的圆心角最小转化为劣弧所对的弦长最短；

在变化中寻找不变的量，发现直线l恒过定点，转化为与上题类似的问题。 解：易知直线l恒过定点(1，2) 2因为（x2)2y24的内部, （12)2（2）34, 所以点(1，2)在圆当劣弧所对的圆心角最小时,即直线l交圆的弦长最短, 此时圆心(2，0)与点(1，2)

的连线垂直于直线l. 所以直线l的斜率k2

22例二、若直线l:3x4y50与圆O:x2y2r（相交于A,B两点，且r0）AOB120(O为坐标原点)，则r

[设计意图] 在不同情境下解决与圆相交有关的问题.

解：AOB120，O为坐标原点，

则圆心(0，0)到l:3x4y50的距离为1r,即

2542321r1

2r2

22变式1：【几何画板】设点M(x0，若在圆O:xy1上存在点N，使得OMN45，1)，则x0的取值范围是

[解题思路] 直线MN与圆O有公共点，即圆心O到直线MN的距离小于等于1

变式2：已知点P(x，y)为圆C（:x2)y1上的动点,则3x4y3的范围为

. 22

[解题思路] 设Z3x4y3,即3x4y3Z0, 由圆心(2，0)到直线3x4y3Z0的距离d1

可得:

63Z43221解得2Z8

反思1：处理解析几何问题，一般需先经历两个步骤：1、画图；2、数形结合. 反思2：回顾以上直线和圆相交例题，思考这些问题的解决有什么共同的特点. 共同点：相交问题经常过圆心向弦作垂线，利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直

角三角形. 教学反思：

对于弦长最短问题，除了用几何画板展示直线变动对弦长的影响，让学生有直观的感觉，还应该把弦长公式写出来，让学生有直观的，定量的认识。从而明确要把问题转为找何时弦心距最长。