习题3.3名师教学设计1

习题课

交点坐标及两点间距离

学习目标

1.能熟练求出两直线的交点坐标.2.能解决简单的对称问题.4.体会坐标法的基本思想.

知识点一

两直线的交点坐标

已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b). (1)若点A在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则有：Aa＋Bb＋C＝0. (2)若点A是直线l1与l2的交点，则有：

A1a＋B1b＋C1＝0，

A2a＋B2b＋C2＝0.

知识点二

两直线的位置关系

A1x＋B1y＋C1＝0，方程组的解

Ax＋By＋C＝0222

一组

一个

相交

无数组

无数个

重合

无解

零个

平行

直线l1与l2的公共点的个数

直线l1与l2的位置关系

知识点三

两点间的距离公式

(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2). (2)结论：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22. (3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.

类型

对称问题

命题角度1

关于点对称问题

例1

(1)求点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点P′的坐标；

考点

对称问题的求法

题点

点关于点的对称问题

解

根据题意可知点A(a，b)为PP′的中点，

设点P′的坐标为(x，y)，

则根据中点坐标公式得y＋yb＝2，0x＋x0a＝，2

x＝2a－x0，所以

y＝2b－y0.

所以点P′的坐标为(2a－x0,2b－y0). (2)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)的对称直线l的方程. 考点

对称问题的求法

题点

直线关于点的对称问题

解

方法一

设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，

则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，

即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 方法二

在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)，

点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1). 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 反思与感悟

(1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则x，x＝x＋2P是线段AB的中点，并且y＋yy＝.2120120

(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P对称，则：①l1上任意一点关于点P的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P到直线l1，l2的距离相等；

③过点P作一直线与l1，l2分别交于A，B两点，则点P是线段AB的中点. 跟踪训练2

与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是(

) A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0 C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0

考点

对称问题的求法

题点

直线关于点的对称问题

答案

D 解析

由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0. 在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，

关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，

则点(－1，－2)必在所求直线上，

∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8. ∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0. 命题角度2

关于轴对称问题

例3

(1)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是(

) A.(－2,1)

C.(2，－5)

考点

对称问题的求法

题点

点关于直线对称

答案

B 解析

设对称点坐标为(a，b)，

a－3b＋42＋2－2＝0，由题意，得b－4a＋3＝1，a＝－2，解得即Q(－2,5). b＝5，B.(－2,5) D.(4，－3)

(2)在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线l的方程为(

) A.x－4y－11＝0

C.x－2y＋7＝0

考点

对称问题的求法

题点

直线关于直线的对称问题

答案

D y＝2x＋1，x＝－3，解析

∵直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线是直线l，联立得

y＝x－2，y＝－5，B.4x－y＋11＝0 D.x－2y－7＝0

∴直线l过点(－3，－5). 在直线y＝2x＋1上取一点A(0,1)，

设点A关于y＝x－2对称的点为B(a，b)，

则点B在直线l上. ab＋1设AB与直线y＝x－2的交点为M，则M，，

22∴b＋1a2＝2－2，b－1＝－1，a－0

a＝3，解得

b＝－2，

∴直线l过点(－3，－5)和(3，－2)，

y＋5x＋3∴直线l的方程为＝，整理得x－2y－7＝0. －2＋53＋3反思与感悟

(1)点关于直线的对称问题

y－yA－B＝－1，x－x·求P(x，y)关于Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)时，利用x＋xy＋yA·＋B·＋C＝0，22000000

可以求点P′的坐标. (2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l对称，①l1上任意一点关于直线l的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l的对称点必在l1上；②过直线l上的一点P且垂直于直线l作一直线与l1，l2分别交于点A，B，则点P是线段AB的中点. 跟踪训练3

一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程. 考点

对称问题的求法

题点

光路可逆问题

解

设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，

由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上，得

ab8×2＋6×2＝25，b4·－＝－1，a3

a＝4，解得

b＝3，

∴点A的坐标为(4,3). ∵反射光线的反向延长线过点A(4,3)，

又∵反射光线过点P(－4,3)，两点纵坐标相等，

故反射光线所在直线方程为y＝3. y＝3，由方程组

8x＋6y＝25，

7x＝8，解得

y＝3，由于反射光线为射线，

7x≤. 故反射光线的方程为y＝38