同分母分式的加减法教学设计案例

第四课时

●课 题

§3.3.1 分式的加减法（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.同分母的分式的加减法的运算法则及其应用. 2.简单的异分母的分式相加减的运算. （二）能力训练要求

1.经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感. 2.会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，并能类比分数的加减运算，得出同分母分式的加减法的运算法则，发展有条理的思考及其语言表达能力. （三）情感与价值观要求

1.从现实情境中提出问题，提高“用数学”的意识. 2.结合已有的数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气. ●教学重点

1.同分母的分式加减法. 2.简单的异分母的分式加减法. ●教学难点

当分式的分子是多项式时的分式的减法. ●教学方法

启发与探究相结合

●教具准备

[来]投影片四张：

第一张：提出问题，（记作§3.3.1 A）; 第二张：想一想，做一做，（记作§3.3.1 B）；

第三张：想一想，（记作§3.3.1 C）; 第四张：议一议，（记作§3.3.1 D）; 第五张：例1，记作（§3.3.1 E）；

第六张：补充练习，（记作§3.3.1 F）. ●教学过程

Ⅰ.创设现实情境，提出问题

［师］上一节我们学习了分式的乘除法运算法则，学会了分式乘除法的运算，这节课我们先来看下面的问题：（出示投影片

§3.3.1 A） 问题一：从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条是平路，第二条有1 km的上坡路、2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v

km/h,在平路上的骑车速度为2 v

km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么

1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间? （2）她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？

问题二：某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍，设他手抄的速度为a字/时，那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间？

［生］问题一，根据题意可得下列线段图：

（1）当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为（（2）走第一条路，小丽从甲地到乙地需要的时间为的时间少.就需要比较（12+）h. v3v3h.但要求出小丽走哪条路花费2v123+）与的大小，少用多少时间，就需要用它们中的较大者v3v2v123+）与的大小，就比较难了，因为它们的分母中都含有v3v2v减去较小者，便可求出. ［生］如果要比较（字母. ［生］比较两个数的大小，我们可以用作差法.例如有两个数a,b. 如果a－b＞0，则a＞b; 如果a－b=0,则a=b；

如果a－b＜0,则a＜b. ［师］这位同学想得方法很好，显然（123+）和中含有字母，但它们也是用来表v3v2v

示数的，所以我认为可以用实数比较大小的方法来做. ［生］如果用作差的方法，例如（零呢？

［师］我们不妨观察（［生］分式的加减法. ［师］很好！这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法（板书课题）

我们再来看一下问题二. ［生］问题二中这个人用电脑录入3000字的文稿需化简，即为123+）－，如何判断它大于零，等于零，小于v3v2v123+）－中的每一项都是分式，这是什么样的运算呢？

v3v2v3000小时，利用分式的基本性质3a10003000小时；用手抄3000字文稿则需用小时，因此这个人录入3000字的aa30001000文稿比手抄少用（－）小时.aa3000100030001000［生］, 是分式，－是分式的加减法. aaaa[ ［师］但和问题一中加减法比较一下，你会发现什么？

［生］问题一中的是异分母的分式相加减，而问题二是同分母的加减法. ［师］很好！我们按研究问题的一般思路，从简单的学起即先学习同分母的加减法. Ⅱ.讲授新课

1.同分母的加减法

［师］我们接着看下面的问题（出示投影片§3.3.1 B）

想一想

（1）同分母的分数如何加减？你能举例说明吗？

（2）你认为分母相同的分式应该如何加减？

做一做

（1）12+=____________. aax24（2）－=____________. x2x2（3）x2x1x3－+=____________. x1x1x143174317+－==13131313［生］同分母的分数的加减是分母不变，把分子相加减，例如

－10. 13我认为分母相同的分式相加减与同分母的分数相加减一样，应该是分母不变，把分子相加减. ［师］谁能试着到黑板上板演“做一做”中的三个小题. ［生1］解：（1）12123+==; aaaax2x244［生2］解：（2）－=; x2x2x2x2x1x3－+

x1x1x1x2x1x3=

x1x2=. x1［生3］解：［师］我们一块来讲评一下上面三位同学的运算过程. ［生］第（1）小题是正确的.第（2）小题没有把结果化简.应该为原式x24(x2)(x2)===x+2. x2x2［师］这位同学很仔细.我们学习分式乘除法时就强调运算结果必须是最简的，如果分子、分母中有公因式，一定要把它约去，使分式最简. ［生］第（3）小题，我认为也有错误.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，我觉得（x+1）分母不变，做得对，但三个分式的分子x+2、x－1、x－3相加减应为（x+2）－（x－1）+（x－3）. ［师］的确如此，我们知道列代数式时，（x－1）÷（x+1）要写成分式的形式即因此分数线既有除号的作用，还有括号的作用，即分子、分母应该是一个整体. ［生］老师，是我做错了.第（3）题应为：

x1，x1x2x1x3－+

x1x1x1(x2)(x1)(x3)=

x1x2x1x3=

x1x=

x1（3）

［师］发现问题，及时改正是一种很好的学习习惯，努力发扬，你一定会取得更大进步. 通过前面做一做，想一想，我们可以得出同分母的分式相加减的法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示是：

abab±=（其中a、b既可以是数，也可以是整式，c是含有字母的非零的整式）. ccc前面问题二现在可以完成了吧！大胆地试一试. ［生］30001000300010002000－==，所以这个人录入3000字文稿比手抄少用aaaa2000个小时. a2.简单的异分母的分式相加减

［生］问题一还没有解决呢？

［师］是的，如果分式的分母不同，那么该如何加减呢？同学们不妨凭借自己的数学经验，合作交流，找到一个可行的方法. 出示投影片（§3.3.1 C）

想一想

（1）异分母的分数如何加减？

（2）你认为异分母的分式应该如何加减？比如31+应如何计算. a4a［生

］异分母的分数加减时，可利用分数的基本性质通分，把异分母的分数加减法化成同分母的分数加减法

［生

］我认为分式有很多地方和分数相类似，异分母的分式加减是否也可以通过像分数那样通分，将异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法. ［师

］同学们的想法很好！我这儿就有两位同学将异分母的分式加减化成同分母的分式加减.（出示投影片

§3.3.1 D）

小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了同分母分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：

3134aa+=+

a4aa4a4aa12aa13a13=2+2=2=. 4a4a4a4a31341小亮：+=+

a4aa44a小明：

=12113+=. 4a4a4a你对这两种做法有何评论？与同伴交流. ［生

］我觉得这两种做法都有一个共同的目标：把异分母的分式加减法化成同分母的分式加减法.但我觉得小亮的方法更简单.就像分数运算：11+.如果64114646105+=+=+==，这样计算就比较麻烦；如果找6和4的最小公倍646446242424121123235数12，算起来就很方便，即+=+=+=. 646243121212［生

］我认为也是这样，根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.但通分时为了简便，也应该像分数的通分一样，找各个分母的最小公倍数. ［师］同学们分析得很有道理，为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的公分母.例如我们再来看几个例子. 出示投影片（§3.3.1 E）

［例1］计算：

（1）31+，a和4a的最简公分母是4a.下面a4a3a152x1+;（2）+

a5ax11x［生］老师，我们组还是联系异分母的分数相加减的方法，利用分数的性质，先通分，转化成同分母的就可以完成. ［生］我们组也是用了将异分母的分式相加减转化成同分母相加减的分式运算. ［例1］中的第（1）题，一个分母是a,另一个分母是5a，利用分式的基本性质，只需将第一个分式33515化成=即可. a5a5a3a1515a15解：（1）+=+

a5a5a5a15(a15)a1===; 5a5a5［生］我们组也已完成了第（2）题.两个分式相加，一个分式的分母是x－1,另一个分式的分母是1－x，我们注意到了1－x=－（x－1），所以要把x1化成分母为x－1的分式，1x利用分式的基本性质，得x1(x1)(1)1x==.所以第（2）题的解法如下：

1x(1x)(1)x1

2x121x+=+

x11xx1x12(1x)3x==

x1x1（2）［师］同学们能凭借自己的数学经验，将新出现的数学难题处理的有条有理，很了不起. ［生］问题一可以出来结果啦. （1）小丽当走第二条路时，她从甲地到乙地需要的时间为1232325+=+==h. v3v3v3v3v3v（2）小丽走第一条路所用的时间为作差可知3h. 2v5310911－=－=＞0.所以小丽走第一条路花费的时间少，少用h. 3v2v6v6v6v6vⅢ.应用、升华

1.随堂练习第1题

计算：

3bb－; xx11（2）+; a2aaa（3）－

abba3bb3bb2b解：（1）－==; xxxx1121213（2）+=+==;

a2a2a2a2a2aaaaa（3）－=－

abbaababa(a)2a==. abab（1）2.补充练习（出示投影片§3.3.1 F）

m2nn2n+－. nmmnnmm2nn2n解：+－

nmnmnmm2n(n)2n=

nmmn(nm)===－1 nmnm计算：Ⅵ.课时小结

［师］这节课我们学习了分式的加减法，同学们课堂上思维非常活跃，想必收获一定很大. ［生］我觉得我这节课最大的收获是：“做一做”中犯的错误，在今后做此类题的过程中，一定不会犯同样的错误. ［生］我的收获是学会用转化的思想将异分母的分式的加减法转化成同分母分式的加减法. ……

Ⅴ.课后作业

Ⅵ.活动与探究

已知x+111=z+=1,求y+的值. xzy11=1,z+=1，xy［过程］已知条件实际上是一个方程组，我们可以取其中两个方程x+由这两个方程把y、z都用x表示后，再求代数式的值. ［结果］由x+11=1,得y=, 1xy1x1=1,得z=. xx11x1xx1所以y+=+=+==1. z1xx1x1x1x1由z+●板书设计

§3.3.1 分式的加减法（一）

同分母

异分母

做一做：（学生板演）

（1）分数的加减法

分母不变，分子相加减

转化为同分母

分式的加减法

分母不变，分子相加减. 转化为同分母

12+

aax24（2）－

x2x2（3）x2x1x2－+

x1x1x1

［例1］计算：

3a15+

a5a2x1（2）+

x11x（1）注意：1°分数线的括号作用，突出分子是整体. 2°计算结果要化成最简形式.

第五课时

●课 题

§3.3.2 分式的加减法（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.异分母的分式加减法的法则. 2.分式的通分. （二）能力训练要求

1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力. 2.进一步通过实例发展学生的符号感. （三）情感与价值观要求

1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐. 2.提高学生“用数学”意识. ●教学重点

1.掌握异分母的分式加减运算. 2.理解通分的意义. ●教学难点

1.化异分母分式为同分母分式的过程. 2.符号法则、去括号法则的应用. ●教学方法

启发、探索相结合

●教具准备

投影片五张

第一张：做一做，（记作§3.3.2 A）

第二张：例1,（记作§3.3.2 B）

第三张：例2，（记作§3.3.2 C）

第四张：例3，（记作§3.3.2 D）

第五张：补充练习，（记作§3.3.2 E）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情境，类比异分母分数的加减法引入新课

［师］大家知道，对于异分母的分数相加减必须利用分数的基本性质，化成同分母的分数相加减，然后才能运算. 上一节课，我们讨论较简单的异分母的分式加减法.下面我们再来看几个异分母的加减法.（出示投影片

§3.3.2 A）

做一做

尝试完成下列各题：

41－=____________；

a2a11（2）+=____________; ababbc（3）－=____________; abbcba（4）+=____________. 3a2b（1）［生］我们已学过分式的一些知识，如分式的概念，分式的约分以及分式的乘除法等.这些知识，都是在与分数类比中得到的.我想异分母的分式的加减法也可类比分数的加减法，应先把异分母的分式加减法转化为同分母的分式的加减法. ［师］你的想法很好.在分数的加减法中，我们把异分母的分数化成同分母分数的过程叫做通分. ［生］老师，我知道啦，在分式的加减法中，把异分母的分式化成同分母分式的过程也叫做通分. “做一做”中的几个异分母的分式加减法就需要先通分.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面可尝试用分式的基本性质，将“做一做”中的异分母分式的加减法通分化成同分母的分式加减法，计算并化简. ［生］解：（1）=4141a4a－=－=－

a2aa2aaa2a24a; a2111ba1ba（2）+=+=+

abababababab=; ababbc(ab)ca(bc)（3）－=－

ababcabcbcacbcabac=－

abcabc(acbc)(abac)=

abcacbcabac=

abcb(ca)=

abcca=

acbab2ba3a2b23a2（4）+=+=+

3a2b3a2b3a2b6ab6ab2b23a2=

6ab（让同学们分组讨论交流完成，教师可巡视发现问题并解决问题）. ［师］把异分母的分式加减法，通过通分，每个分式都化成同分母的加减法.你是怎样通分，把异分母的分式化成同分母的？

同学们可根据“做一做”的每个步骤，总结你是怎样通分的？（小组讨论完成）

［生］我认为通分的关键是几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母同乘以什么样的“适当整式”，才能化成同分母. ［生］确定公分母的方法：系数取每个分式的分母的系数的最小公倍数，再取各分母所有因式的最高次幂的积，一起作为几个分式的公分母. ［师］同学们概括得很好.下面我们来看一个例题（出示投影片§3.3.2 B）

［例1］通分：

（1）x1y,2,；

2x3y4xy53,; 2xy(yx)（2）11,; x3x311（4）2,分析: 通分时，应先确定各个分式的分母的公分母：先确定公分a4a2（3）[母的系数，取各个分母系数的最小公倍数；再取各分母所有因式的最高次幂的积. 解：（1）三个分母的公分母为12 xy，则

2y626y3y==; 2x2x6y212xy24x2xx4x==; 3y23y24x12xy2113y3y==

4xy4xy3y12xy2（2）因为（y－x）=（x－y），所以两个分母的公分母为（x－y）. 22255(xy)5(xy)==; xy(xy)(xy)(xy)233=. (yx)2(xy)2（3）两个分母的公分母为（x+3）（x－3）=x－9. 2x31x3==2; x3(x3)(x3)x9x31x3==2. x3(x3)(x3)x9（4）因为a－4=（a+2）（a－2）,所以两个分母的公分母为a－4. 2211=; 22a4a4

a21a2==2. a2(a2)(a2)a4［师］我们再来看一个例题（出示投影片

§3.3.2 C）

［例2］计算：

11－; x3x311（2）2－;

a4a2（1）[（3）用两种方法计算：

x243xx（－）·. x2x2x（可由学生板演，学生之间互查互纠）. 解：（1）x3x311－=－

x3x3(x3)(x3)(x3)(x3)(x3)(x3)6=

x29x2911（2）2－

a4a2==1(a2)

(a2)(a2)a1

(a2)(a2)a1

(a2)(a2)==－（3）方法一：（按运算顺序，先计算括号里的算式）

x243xx（－）·

x2x2x3x(x2)x(x2)x24=（－）·

(x2)(x2)(x2)(x2)x(3x26x)(x22x)(x2)(x2)=·

x(x2)(x2)

2x28x==2x+8. x方法二：（利用乘法分配律）. x243xx（－）·

x2x2x=3x(x2)(x2)x(x2)(x2)－

(x2)x(x2)x=3（x+2）－（x－2）

=3x+6－x+2=2x+8. 出示投影片（§3.3.2 D）

［例3］甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料. （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？

（2）谁的购货方式更合算？

［师生共析］由于两次购买饲料的单价有所变化，可设第一次购买的饲料的单价为m元/千克，第二次购买的饲料的单价为n元/千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量.在第（2）题中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差法比较平均单价. 解：（1）设两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m,n是正数，且m≠n）

甲两次购买饲料的平均单价为

1000m1000nmn=（元/千克）

100022乙两次购买饲料的平均单价为

2mn8002=（元/千克）

800800mnmn（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是

mn2mn－

2mn(mm)24mn=－

2(mn)2(mn)

m22mnn24mn=

2(mn)(mn)2=

2(mn)(mn)2mn2mn由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数，即－＞0，因此2mn2(mn)乙的购买方式更合算. Ⅲ.课堂练习

1.随堂练习第1题第（2）小题：

12－

a11a212解：原式=－2

a1a1（2）=a12－2

(a1)(a1)a1a12－

a21a21a1(2)a3==2

2a1a1=2.补充练习（出示投影片§3.3.2 E）

122+; 2m93m4（2）a+2－. 2a122解：（1）2+

m93m计算：（1）=122+

(m3)(m3)(m3)122(m3)+

(m3)(m3)(m3)(m3)122(m3)

(m3)(m3)62m

(m3)(m3)===

=2(m3)

(m3)(m3)2. m3=－4a24=－

2a12a(2a)(2a)4=－

2a2a（2）a+2－4a24a2(1)==

2a(2a)(1)a2=

a2Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了异分母的分式加减法，使我们提高了分式运算的能力. Ⅴ.课后作业

习题3.5第1、2、3、4题

Ⅵ.活动与探究

若x3AB=+，求A、B的值. (x1)(x1)x1x1［过程］本题把一个真分式化成两个部分分式之和的形式，这里A和B都是待定系数，待定系数可根据对应项的系数来求解. ［结果］右式通分，得

x3A(x1)B(x1)=. (x1)(x1)(x1)(x1)因为左右恒等且分母相同，故分子应恒等，即x－3≡A（x－1）+B（x+1）

所以x－3=（A+B）x+（－A+B）

对应系数比较，得AB1

AB3A2解得所以A=2，B=－1 B1[●板书设计

§3.3.2 分式的加减法（二）

1.(根据分式的基本性质)—通分

同分母的分式相加减2.［例1］通分

（1） （2） （3） （4）（略）

［例2］计算

异分母的分式相加减11－; x3x311（2）2－

a4a2（1）x243xx（3）（－）·. x2x2x［例3］（略）