观察与猜想 看图时的错觉公开课参赛课教案

相交线

三维目标

1．通过学习邻补角、对顶角等概念，进一步发展学生抽象概括能力．

2．通过对相交线、邻补角、对顶角的研究，•体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象．

3．通过分组讨论，培养学生合作交流的意识和探索精神．

4．通过对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，•感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

教学重点

邻补角、对顶角的性质．

教学难点

发现两条直线相交时所形成的各类角的位置及数量关系．

教学过程

导入新课

师：打开书欣赏第五章的章头图，雄伟壮丽的大桥上，有纵横交错的钢梁，以及像竖琴一样的钢索，你能从中抽象出什么样的几何形象？

（同学们思考后回答）

生：有很多的相交线和平行线．

师：你能在身边再找一些相交线和平行线的实例吗？

生：学校操场上的双杠．

生：课桌面、黑板面相邻的两边和相对的两边．

生：国际象棋、中国象棋的棋盘布满了纵横交错的横线和竖线，它们和平行、或相交．

……

师：在生活中相交线、平行线的实例比比皆是，因此从这节课开始，我们将要在前面《图形认识初步》的基础上，继续遨游于几何世界，探究两条直线相交都能够形成哪些角？这些角有什么特征？什么样的两条直线互相垂直？垂线有什么性质？什么样的两条直线互相平行？互相平行的直线有什么特征？……更为重要的是它们在生活中的作用，学会用数学的眼光去欣赏我们生活所在的丰富多彩的世界．

这节课，我们先来研究相交线．

推进新课

这里有一把剪刀，握紧剪子（如图1）的把手，就能剪开物体，•你能说出其中的道理吗？

生：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体．

师：如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你在练习本上画出．

（教师可进行巡视，给学习困难的学生以帮助．从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意力，同时为得出相交线所成角的性质提供背景和生活素材）．

师：同学们表现都很棒，剪子的构造可看作两条相交的直线，而剪刀两个把手之间的角，剪刀刃之间的角都是相交直线所成角．

．．．． 组织学生活动

活动1．（1）任意画两条相交的直线，在形成的四个角中（如图2）各个角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．

（2）分别量一下各个角的度数，各个角度数有什么关系？为什么？

（3）在图1转动剪子把手的过程中，这个关系还保持吗？

（学生分组活动，动手操作，教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并指导、帮助学生完成任务）

教师应重点关注：

（1）学生能否根据各对角的位置关系进行分类；

（2）在阐述各对角的位置关系时，语言是否规范；

（3）在测量出各个角的大小关系时，能否用“同角的补角相等”为依据，•得出正确结论．

（为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．通过学生自身探求出结论，获得学习数学的成就感，提高学生的论证几何的能力）

生：∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1它们属于同一种位置关系的角．它们共同的特点是每一对角都有一条公共边，而另一边互为反向延长线．

生：以上四对角不仅有特殊的位置，而且它们的和都是180°，即它们互补．

师：你能给它们每对角起个名字吗？

生：我们前面学过互为补角：如果两个角的和是180°，则称它们互为补角．•而上面的∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1不仅互补，而且“相邻”，我们称它们为“亲密补角”吧！

师：这个名字是不是很温馨呢！（同学们鼓掌）实际上，在数学上，我们把具有上述位置和大小关系的角叫做互为邻补角．

师：你还能找到哪些两两相配的角呢？它们又有何位置和大小特点？

生：∠1和∠3、∠2和∠4它们分别有相同的位置关系．每对角都有一个公共顶点O，并且每对角的两边都互为反向延长线．

师：很好．我们将具有这种位置关系的两个角叫做对顶角，它们的大小有何关系？

生：每对对顶角都分别相等．如图2的∠1=∠3，∠2=∠4．

师：你能用前面的知识说明∠1=∠3的理由吗？

生：因为∠1与∠2互补，∠3也与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3．类似地，可得出∠2=∠4．

师：由此可得出结论……

生：对顶角相等．

师：你能用刚才的结论解释本节开头提出的现象吗？

生：可以．通过上面的讨论我们知道了，剪子两个把手之间的角与剪刀刃之间的角是对顶角．在转动剪子把手的过程中，这对对顶角始终保持相等，直到把物体剪开．

师生共析：下面我们共同填写下表（多媒体演示）

两直线相交

所形成角

分类

位置关系

大小关系

C1234OB∠1、∠2 ∠3、∠4 A 活动2．问题：

D

（1）图3中∠1和∠2是对顶角吗？若不是，请说明理由．

（学生通过对上面问题的解释，进一步明确对顶角存在的条件，•使学生的思维更严密、条理）．

生：图3（1）中的∠1和∠2不是对顶角，是因为它们不是两条直线相交而成，•即它们既无公共顶点，每个角的两边只有一边是互为反向延长线；图3（2）中的∠1和∠2虽有公共点，但∠2的一边不是∠1两边中的一条反向延长线；图3（4）中的∠1和∠2也不是对顶角，只有图3（3）中的∠1和∠2是对顶角．

师：判断一对角是不是对顶角，我们应注意什么？

生：首先看它们是否是两条直线相交而成的角，再看它们是否有公共顶点，•两边是否互为反向延长线．

（2）如图4，直线a、b相交，∠1=40°，求∠2、∠3、∠4的度数．

（意在利用互为邻补角的大小关系，对顶角相等的性质．教师应先让学生自主解决，对个别学习有困难的学生加以辅导）

生：解：如图4，由邻补角的定义，可得∠2=180°-40°=140°；

由“对顶角相等”，可得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°．

运用数学知识，解决问题

活动3．（多媒体演示）

问题：

（1）如图5（1），取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，•就得到一个相交线的模型，你能说出其中的邻补角与对顶角吗？如果其中一个角是35°，其他三个角各是多少度？这个角是90°、115°、m°呢？

解：将两根木条抽象成相交直线，如图5（2），设直线a、b相交于点O．

①当∠1=35°时，由邻补角的定义可得∠2=180°-35°=145°；

由“对顶角相等”，可得∠3=∠1=35°，∠4=∠2=145°．

②当∠1=90°，同（1）可得∠2=180°-90°=90°，∠3=∠1=90°，∠4=∠2=90°．

③当∠1=115°时，∠2=180°-115°=65°，∠3=∠1=115°，∠4=∠2=65°．

④当∠1=m°时，∠2=180°-m°，∠3=∠1=m°，∠4=∠2=180°-m°．

（2）下列说法正确的是（ ）

A．有公共顶点的两个角是对顶角

B．相等的两个角是对顶角

C．有公共顶点并且相等的角是对顶角

D．两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角

答案：D 注：①只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的；

②对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线．

（3）已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC+∠BOD=240°，求∠BOC的度数．

分析：如图6所示，∠AOC与∠BOD是对顶角，

所以∠AOC=∠BOD；

又∠AOC+∠BOD=240°，从而∠AOC=∠BOD=120°；

又∠AOC和∠BOC是邻补角，所以∠BOC=180°-∠AOC=60°．

解：因为直线AB、CD相交于点O，

所以∠AOC和∠BOC是邻补角（对顶角的定义），

∠AOC和∠BOC是邻补角（邻补角的定义），

所以∠AOC=∠BOD（对顶角相等）．

又因为∠AOC+∠BOD=240°（已知），

所以∠AOC=∠BOD=120°．

所以∠BOC=180°-∠AOC=60°（邻补角的定义）．

（4）如图7，AB与CD是直线，图中共有对顶角________对．（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 解析：在图中只有AB和CD两条直线相交，根据对顶角的特征：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线可知对顶角只有两对即∠AOC和∠BOD、∠AOD和∠BOC．

答案：B （5）图8中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？

解：设量角器的底边所在的直线为AB，指针所在直线为CD．根据对顶角相等，可知∠BOD=∠AOC，因此只要读出∠AOC的度数，也就知道了∠BOD的度数．

课堂小结

本节课讨论了两条直线相交所成的角的问题；重点研究了邻补角、对顶角的位置关系、大小关系，并用它们解决了生活和数学中的一些简单问题，相信同学们在今后的学习过程中，会进一步体会到邻补角和对顶角性质在解题中的作用．

布置作业

习题5．1 1、2．

活动与探究

两条直线相交于一点，有______对对顶角，三条直线相交于一点，有_____•对对顶角．……n条直线相交于一点，共可组成______对对顶角．

[过程]让学生在讨论的过程中，学会归纳．两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出，那么n条直线呢？

设n条直线为a1，a2，…，an，

以a1为边所得到的对顶角数为2（n-1）；

以a2为边所得到的新对顶角数为2（n-2）；

…

以an-2为边得到的新对顶角数为2×2；

以an-1为边得到的新对顶角数为2×1．

加起来得n（n-1）对对顶角．

[结果]两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n（n-1）对对顶角．