等腰三角形的判定与反证法优秀教案说课稿

第3课时

等腰三角形的判定与反证法

ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是

1∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝∠21ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三2角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠1ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.又2

1∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠2ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.

方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．

【类型二】

判定一个三角形是等腰三角形

1．掌握等腰三角形的判定定理并学会运用；(重点) 2．理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明．

一、情境导入

某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．

同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．

二、合作探究

探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边) 【类型一】

确定等腰三角形的个数

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．

解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．

方法总结：“等角对等边”是判定等腰

如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有(

) A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△

三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

【类型三】

等腰三角形性质和判定的综合运用

如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形；

(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．

解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.

(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在BD＝CE，△BDE和△CEF中，∵∠B＝∠C，∴△BE＝CF，BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；

(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝12×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°. 方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．

探究点二：反证法

【类型一】

假设

用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中(

) A．有一个内角大于60°

B．有一个内角小于60°

C．每一个内角都大于60°

D．每一个内角都小于60°

解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.

方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．

【类型二】

用反证法证明一个命题

求证：△ABC中不能有两个钝角．

解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．

证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，

所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．

方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

三、板书设计

1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．

2．反证法

(1)假设结论不成立；

(2)从假设出发推出矛盾；

(3)假设不成立，则结论成立．

解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.第2课时

三角形三条内角的平分线

1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质；(重点) 2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．(难点)

C．130°

D．140°

解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有1∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝21∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°2

70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，－∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B.

方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．

【类型二】

三角形内外角平分线的应用

一、情境导入

从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？

二、合作探究

探究点：三角形角平分线的性质及应用

【类型一】

利用角平分线的判定求角的度数

在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(

)

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

(1)可选择的地点有几处？

(2)你能画出塔台的位置吗？

解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

解：(1)可选择的地点有4处，如图：

A．110°

B．125°

一点，并且这一点到三条边的距离相等．

P1、P2、P3、P4，共4处；

(2)能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．

三、板书设计

三角形三条内角的角平分线

三角形的三条内角的角平分线相交于本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练. 2．2

不等式的基本性质

(3)3－a________3－b. 解析：(1)两边都加3，a＋3＜b＋3，(2)1．理解并掌握不等式的基本性质；(重点) 2．能够运用不等式的基本性质解决问题．(难点)

ab两边都除以－4，－>－，(3)两边都乘－1，44－a＞－b，两边都加3，3－a＞3－b.故答案为：＜，＞，＞.

方法总结：不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质，但

性质3中，当不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．

【类型二】

判断变形是否正确

已知a＞b，则下列不等式中，错误的是(

) abA．3a＞3b

B．－<－

33C．4a－3＞4b－3

D．(c－1)2a＞(c－一、情境导入

小刚的爸爸今年32岁，小刚今年9岁，小刚说：“再过24年，我就比爸爸年龄大了”．小刚的说法对吗？为什么？

二、合作探究

探究点一：不等式的基本性质

【类型一】

根据不等式的基本性质判断大小

已知a＜b，用不等号填空：

(1)a＋3________b＋3；

ab(2)－________－；

441)2b

解析：A.在不等式a＞b的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a＞3b，故本选项正确；B.在不等式a＞b的两边同时除以－3，ab不等号方向改变，即－<－，故本选项正33确；C.在不等式a＞b的两边同时先乘以4、再减去3，不等式号方向不变，即4a－3＞4b－3，故本选项正确；D.当c－1＝0，即c

＝1时，该不等式不成立，故本选项错误；故选D.

方法总结：“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

探究点二：不等式性质的运用

【类型一】

把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式

把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．

(1)2x－2<0；

(2)3x－9<6x；

(3)12x－2＞32x－5. 解析：根据不等式的基本性质，把含未知数的项放到不等式的左边，常数项放到不等式的右边，然后把系数化为1.

解：(1)根据不等式的基本性质1，两边都加上2得2x<2.根据不等式的基本性质2，两边都除以2得x<1，

(2)根据不等式的基本性质1，两边都加上9－6x得－3x<9.根据不等式的基本性质3，两边都除以－3得x＞－3；

(3)根据不等式的基本性质1，两边都加上2－32x得－x>－3.根据不等式的基本性质3，两边都除以－1得x<3. 方法总结：运用不等式的基本性质进行变形，把不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式时，可以先在不等式两边同时加上一个适当的代数式，使含未知数的项在不等式的左边，常数项在不等式的右边(也可通过移项实现)．然后把未知数的系数化为1，要注意的是：如果两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变；如果两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．

【类型二】

根据不等式的变形确定字母的取值范围

如果不等式(a＋1)x＜a＋1可变形为x＞1，那么a必须满足________．

解析：根据不等式的基本性质可判断a＋1为负数，即a＋1＜0，可得a＜－1.

方法总结：只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变．

三、板书设计

1．不等式的基本性质

性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；

性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；

性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．

2．把不等式化成“x>a”或“x

“移项”依据：不等式的基本性质1；

“将未知数系数化为1”的依据：不等式的基本性质2、3.

本节课学习不等式的基本性质，在学习过程中，可与等式的基本性质进行类比，在运用性质进行变形时，要注意不等号的方向是否发生改变；课堂教学时，鼓励学生大胆质疑，通过练习中易出现的错误，引导学生归纳总结，提升学生的自主探究能力.第2课时

三角形三条内角的平分线

1．在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质；(重点) 2．能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题．(难点)

距离相等，得O是内心，再利用三角形内角

和定理即可求出∠BOC的度数．

【类型二】

三角形内外角平分线的应用

一、情境导入

从前有一个老农，他有一块面积很大的三角形土地，其中BC边紧靠河流，他打算把这块土地平均分给他的两个儿子，同时每个儿子的土地都要紧靠河流，应当怎样分？

如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：

(1)可选择的地点有几处？

(2)你能画出塔台的位置吗？

解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

解：(1)可选择的地点有4处，如图：

二、合作探究

探究点：三角形角平分线的性质及应用

【类型一】

利用角平分线的判定求角的度数

在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC的度数为(

)

P1、P2、P3、P4，共4处；

(2)能．如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点．

方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到．

三、板书设计

三角形三条内角的角平分线

三角形的三条内角的角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握．不足之处是少数学生在应用

A．110°

B．125°

C．130°

D．140°

解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有1∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝21∠ACO＝∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°2－70°＝110°，∠OBC＋∠OCB＝55°，∠BOC＝180°－55°＝125°，故选B.

方法总结：由已知，O到三角形三边的

角平分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“平分线上的点到角两边的距离相等”这一条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练.