正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系优秀课堂实录

24．3

正多边形和圆

01

教学目标

1．了解正多边形的概念．

2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形．

3．会进行有关圆与正多边形的计算．

4．会通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出所需的正多边形．

5．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．

02

预习反馈

阅读教材P105～107，完成下列知识探究．

1．各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．

2．一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3．把一个圆分成几等份，依次连接各分点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等360°于．

边数4．正n边形都是轴对称图形，它的对称轴有n条，当边数为偶数时，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是轴对称图形．

03

名校讲坛

例1

(教材P106例)如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(结果保留小数点后一位)．

【解答】

如图，连接OB，OC.

360°因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于＝60°，△OBC是等边三角6形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，亭子地基的周长l＝6×4＝24(m)．

作OP⊥BC，垂足为P. BC4在Rt△OPC中，OC＝4 m，PC＝＝＝2(m)，

22利用勾股定理，可得边心距r＝42－22＝23(m)．

11亭子地基的面积S＝lr＝×24×23≈41.6(m2)．

22思考：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

【跟踪训练1】

(《名校课堂》24.3习题)如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，求⊙O的内接正三角形EFG的边长．

解：连接AC，OE，OF，作OM⊥EF于M，

根据正方形的性质可得AB＝BC＝4. ∵∠ABC＝90°，∴AC是⊙O的直径．

在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝42＋42＝42. ∴OE＝OF＝22.∵OM⊥EF，∴EM＝MF. ∵△EFG是正三角形，∴∠G＝60°.∴∠EOF＝2∠G＝120°. 1∴∠EOM＝∠EOF＝60°.∴∠OEM＝30°. 2在Rt△OME中，OE＝22，∠OEM＝30°，

∴OM＝2，

ME＝OE2－OM2＝（22）2－（2）2＝6. ∴EF＝2ME＝26，

即正三角形EFG的边长为26.

例2

已知⊙O，求作⊙O的内接正△ABC. 【解答】

作直径AM；再作OM的垂直平分线BC，交⊙O于B，C；连接AB，AC，则△ABC为⊙O的内接正三角形．

【跟踪训练2】

你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？

【点拨】

只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

04

巩固训练

1．如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(B) A．4

B．5

C．6

D．7 2．已知圆的半径是23，则该圆的内接正六边形的面积是(C) A．33

B．93

C．183

D．363 3．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(A) 1A．2

B.3

C．1

D.

24．正三角形的边心距、半径和高的比为(D) A．1∶2∶3

B．1∶2∶3

C．1∶2∶3

D．1∶2∶3

5．如图，正六边形的内切圆的半径OD＝3 cm，则它的中心角∠AOB＝60°，边长AB＝2cm，正六边形的面积S＝63cm2.

6．如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．

解：设这个正三角形的中心为O，连接OB，OC，作OH⊥BC于H. 360°∵∠BOC＝＝120°，∴∠BOH＝60°. 31在Rt△BOH中，BH＝BC＝3，∠OBH＝30°，

2∴OH＝3，OB＝23，

即该正三角形的中心角为120°，半径为23，边心距为3. 【点拨】

正三角形内心、外心合一，即正三角形的中心．

05

课堂小结

1．正多边形的概念及正多边形与圆的关系．

2．正多边形的半径、中心、边心距、内角度数、中心角度数．

3．通过等分圆心角的方法等分圆周，从而画出圆内接正多边形．

4．用直尺和圆规作一些特殊的正多边形的方法.