2.2.1 椭圆的标准方程教学目标

课。。题：椭圆及其标准方程

教学目的：

1、理解椭圆的定义

明确焦点、焦距的概念；

2、熟练掌握椭圆的标准方程，会根据所给的条件画出椭圆的草图并确定椭圆的标准方程；

3、能由椭圆定义推导椭圆的方程；

4、启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。

教学重点：椭圆的定义和标准方程

教学难点：椭圆标准方程的推导

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教。。具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、新知引入： 中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长。 （说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题）

2。复习求轨迹方程的基本步骤：

3．演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1,F2两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。

由演示知道：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？

。答：两个定点，绳长。即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）。

彗星太阳

二、讲解新课：

1、椭圆定义：

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

（注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：

（1）两个定点---两点间距离确定。

。

（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定。）

思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁在同样的绳长下，两PF1F2定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)。

2、根据定义推导椭圆标准方程：

取过焦点F1,F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴设P(x,y)为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c（c0）。

则F1(c,0),F2(c,0)，又设M与F1,F2距离之和等于2a(2a2c)（常数）

PPPF1PF22a

y又PF1(xc)2y2，

F1OF2Px(xc)2y2(xc)2y22a，

化简，得。(ac)xaya(ac)，

22由定义2a2c,ac0

22222222222222令acb代入，得。bxayab，

222x2y2两边同除ab得。。221

ab22此即为椭圆的标准方程。

它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程。

其中acb。

222

注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程。

如果椭圆的焦点在y轴上（选取方式不同，调换x,y轴）焦点则变成F1(0,c),F2(0,c),x2y2只要将方程221中的x,y调换，即可得

aby2x221，也是椭圆的标准方程。

2ab理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐yPF2OF1xx2y2标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在221aby2x2与221这两个标准方程中，都有ab0的要求，如方程abx2y21(m0,n0,mn)就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，mnxyx2y2可与直线截距式1类比，如221中，由于ab，所以在x轴上的“截距”abab更大，因而焦点在x轴上(即看x,y分母的大小) 。

三、讲解范例：

例1用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。

(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。

(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。

(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。

解

(1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆

(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。

(3)因|MF1|+|MF2|=3<|F1F2|=4，故点M的轨迹不成图形。

例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

22x2y2

221。(ab0)

ab

2a10,2c8a5,c4b2a2c252429x2y21。

所以所求椭圆标准方程为259

点评：例2根据定义求

若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何？

四、课堂练习：

x2y21上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离1、椭圆259为…………………………………………………………………【。

】

A。5。。。。。B。6。。。。

C。4。。。。。

D。10 x2y21的焦点坐标是………………………………………【。

】

2。椭圆25169A。(±5，0)。 B。(0，±5)。C。(0，±12)。。D。(±12，0) 3。

a6,c1,焦点在y一轴上的椭圆的标准方程是。。。。。。

五、小结

：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中, 2a2b0；

②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x,y的分母大小来确定；

③a、b、c的几何意义

。

六、课后作业：

1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出a,b,c的值。

x2y2x2y2x2y21；②1；③1；④4y29x236。

①224242x2y21的焦距是。。。。，焦点坐标为。。。。

；若CD为过左焦点F1的弦，2

椭圆169则F2CD的周长为。。。。

七、板书设计（略）

八、课后记：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)

(1)a=4,b=3,焦点在x轴；

(2)a=5,c=2,焦点在y轴上。