5.3 同角三角比的关系和诱导公式优质课教案推荐

1.3

三角函数的诱导公式

项目

内容

1.3

三角函数的诱导公式

课题

（共

2

课时）

1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 教学

2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数目标

的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.

3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的教学重、

修改与创新

求值、化简和证明等. 难点

教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 教学

多媒体课件

准备

第1课时

导入新课

在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到教学过程

360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像2

公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 提出问题

由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?

活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊

角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.

图1 讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1. 180a,[90,180],β=180a,[180,270],

360a,[270,360],提出问题

①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何? ②它们与单位圆的交点的位置关系如何? ③任意角α与180°+α呢?

活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.

图2

引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系. 无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.

利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y). 指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:

sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.

并指导学生写出角为弧度时的关系式:

sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.

引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.

讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.

②它们与单位圆的交点关于原点对称.

③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称. 提出问题

①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么? ②-α角的终边与角α的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考: 任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即: sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.

教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值. 讨论结果: ①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦. ②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数. 提出问题

①下一步的研究对象是什么? ②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?

活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生

思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:

sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.

强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立. 引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值. 让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆. 我们可以用下面一段话来概括公式一—四: α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角. 讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;

②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数. 示例应用

例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos225°;(2)sin1116;(3)sin();(4)cos(-2 040°). 33

活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=2; 2(2)sin113=sin(4π)=-sin=; 3332(3)sin(1616)=-sin=-sin(5π+) 333=-(-sin3)=; 32

(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°) =cos120°=cos(180°-60°) =-cos60°=1. 2点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:

上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 变式训练

利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-510°15′);(2)sin(17π).

3解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′

=cos(360°+150°15′)[来源学科网ZXXK]

=cos150°15′=cos(180°-29°45′)

=-cos29°45′=-0.868 2; (2)sin(173π)=sin(-3×2π)=sin=. 3332例2 2007全国高考,1 cos330°等于(

)A.[来源学科网]

113

B.

C.

222D.3

2答案:C 变式训练

12sin290cos430化简:

sin250cos790

12sin290cos430解:

sin250cos790=12sin(36070)cos(36070)sin(18070)cos(72070)

12sin70cos70|cos70sin70|=

sin70cos70cos70sin70sin70cos701. =cos70sin70例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°. 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分. 解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°

=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)1-sin45°+cos120°

2=cos45°12+cos(180°-60°) 22=212-cos60°=-1. 222点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的. 变式训练

求证:tan(2)sin(2)cos(6)tan. (cos)sin(5)分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边=tan(2)sin(2)cos(6)

(cos)sin(5)=tan()sin()cos()

(cos)sin()tansincos=tanθ=右边. cossin=所以原式成立.

规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简. 知能训练

课本本节练习1—3.解答:1.(1)-cos[来源学科网]

4;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6′.

95[来源学#科#网Z#X#X#K]点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)

113;(2);(3)0.642 8;(4). 222点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值. 3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α.

点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简. 课堂小结

本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想. 作业

课本习题1.3

A组2、3、4.

第2课时

导入新课

上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题. 提出问题

终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?

活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.

教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x

对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.

图3

讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位22圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有

sinα=y,cosα=x,

cos(-α)=y,sin(-α)=x.

22-α)=sinα,

2sin(-α)=cosα.

2cos(

从而得到公式五:

提出问题

能否用已有公式得出系式? +α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关2+α转化为π-(-α),从而利用公式四和公式五22达到我们的目的.因为+α可以转化为π-(-α),所以求+α角的正余弦222

活动:教师点拨学生将问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.

讨论结果:公式六

+α)=cosα,

2cos(+α)=-sinα.

2Sin(

提出问题

你能概括一下公式五、六吗?

活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括. 讨论结果:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面2加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限. 利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. 公式一—六都叫做诱导公式. 提出问题

学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括? 讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是33±α,-α.其中,是纵坐标轴上的角,2222因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.

教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了. 示例应用

例1 证明(1)sin(33-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.

22

活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、

证明问题. 证明:(1)sin((2)cos(3-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα;

2223-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.

2223点评:由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的22k1关系,从而进一步可以推广到π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接2作为诱导公式直接使用. 11sin(2a)cos(a)cos(a)cos(a)22例2 化简.

9cos(a)sin(3a)sin(a)sin(a)2

活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的. (sina)(cosa)(sina)cos[5(解:原式=2a)](cosa)sin(a)[sin(a)]sin[4(sin2acosa[cos(a)]2(cosa)sina[(sina)]sin(a)2知能训练

课本练习4—7. 4. Α[来源:Zxxk.Com]2

a)]==sina=-tanα.

cosa

4

35

45

37

48

311

4Sinα

3

21

22

22

23

21

22

23

21

22

2Cosα

2

22

25.(1)-tan25;(2)-tan79°39′;(3)-tan;(4)-tan35°28′.

3656.(1)23(2);(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5)3;(6)-0.647 5. 22

7.(1)sin2α;(2)cos2α+课堂小结

1

cosa

本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度. 作业

1.课本习题1.3

B组2. 2.求值:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°.

板书设计

教学反

思

附件1：律师事务所反盗版维权声明

附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）

学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060 附件1：律师事务所反盗版维权声明

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学校名录参见：http://www.zxxk.com/wxt/list.aspx?ClassID=3060