6.3 函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图像与性质国家优质课一等奖

6.3正弦曲线yAsinx的图像与性质

上海市浦东复旦附中分校 李志 【教学目标】

1．会用五点作图法做正弦曲线yAsinx的图像，学会点对应的方法；

2．会用ysinx的图像，通过图像变换得到正弦曲线yAsinx的图像，正确理解相应的代数变换过程；

3. 经历用函数的图像变换研究函数图像的过程，渗透特殊与一般、数形结合的数学思想，欣赏数学的数与形的统一美，学习用联系和发展的观点看问题.

【教学重点】函数图像的变换. 【教学难点】函数的图像变换与解析式变换的对应关系. 【教学过程】

一. 新课引入 在平面几何中，数学家用几个基础的公理演绎出复杂的几何学，他们还认为很多复杂的函数可以由几类简单的基本初等函数生成，我们现在学习的三角函数就是其中重要的一类. 22就三角学来说，正弦函数和余弦函数就像一对美丽的孪生姊妹sinxcosx1，她们可以生成其它的三角函数，那么怎样由简单的函数生成较复杂的函数？（运算：四则和复合）

如：yasinxbcosxa2b2sinx.

运算之后得到的函数和原来的函数之间有什么关系呢？它们的图像之间有什么变换关系呢？这就是我们这节课要研究的问题.（课题）

一.三角函数图像的伸缩变换

问题1：如何由函数ysinx的图象通过变换得到函数yAsinx的图象？

1例1、在同一直角坐标系中分别作出函数ysinx、y2sinx和ysinx的图像。

2y21-2π-πO-1-2π2πx

小结：若(x0,y0)函数ysinx的图像上任意一点，则_________是函数yAsinx0的图像上的点. 因此，

ysinx图像上所有点的横坐标________，纵A

1

坐标变为原来的______，可得到函数yAsinx的图像. （函数yf(x)与yAf(x)A0图像之间也有同样的关系课后思考A0会怎么样呢？）

问题2：如何由函数ysinx的图象通过变换得到函数ysinx的图象？

x例2、在同一直角坐标系中分别作出函数ysinx、ysin2x和ysin的图像。

2y21-2π-πO-1-2π2πx

小结：若(x0,y0)函数ysinx的图像上任意一点，则_________是函数ysinωxω0的图像上的点. 因此，ysinx图像上所有点的纵坐标________，横坐标变为原来的_________，可得到函数ysinωx的图像. （函数yf(x)与yf(ωx)ω0图像之间也有同样的关系，课后思考ω0会怎么样呢？）

思考：这两种伸缩变换是矛盾的，还是统一的？

二.三角函数图像的变换关系

问题3：如何由函数ysinx的图象通过变换得到函数yAsinx的图象？

例3、作函数y3sin2xπ的图像（五点作图法；图像变换）.

3y21-2π-πO-1-2π2πx

2

思考：如何由函数ysinx的图象通过变换得到函数y2sin2x种变换途径，都要正确理解）

π（两的图象？3注意：函数图像变化的代数本质是变量（x,y）对应关系的变化。

四.巩固练习

1. 函数ysin2xcos2x的图像可由函数ysin2xcos2x的图像怎样平移得到？

2. 将函数f(x)Asin(ωxφ)(A0,0)的图像向右平移的纵坐标不变，横坐标变为原来的

3.

个单位，再将所有点61，得到ysin(2x)的图像，则f(x)

. 26fxAsinxA0,0,0的图像如图所示，则这个函数的2解析式是

（要写出函数的定义域）.

y4五.学到什么

知识：函数图像的伸缩和平移变换；

方法：图像（变换）图像；

o思想：数形结合与化归思想，特殊与一般的思想；

意识：数与形的统一美，联系和发展的观点. 4结束寄语：

7

3

3x老子认为道生一，一生二，二生三，三生万物（道德经第24章）；

无独有偶，化学家认为物质由元素组成、物理学家认为物质是由原子和分子构成. 色彩斑斓的世界由7种基本颜色绘就；7个基本音符形成美妙动听的音乐；英文由26个字母形成；汉字由一些简单的笔画构成等等. 从今天的学习我们可以看到：一些复杂的函数由简单的基本初等函数生成，复杂函数的图像由简单函数的图像变换得到. 老子认为道生成了纷繁的万千世界,而我们解决问题的过程却是化繁为简,也许人生就是在化繁为简，寻找那个本原的道. 六.作业布置

1. 6.3（1）巩固练习

x22. 思考：我们用xy1表示单位圆的方程，你能画出方程2y21的大致图422像吗？

3