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第二十二章 二次函数

一、二次函数的有关概念：

1、二次函数的定义：

2b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。一般地，形如yaxbxc（a， 2、二次函数解析式的表示方法

2yaxbxc（a，b，c为常数，a0）（1）

一般式：；

2ya(xh)k（a，h，k为常数，a0）（2）

顶点式：；

（3）两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 2yaxbxc图象的画法

二、二次函数1.基本方法：描点法

2注：五点绘图法。利用配方法将二次函数yaxbxc化为顶点式ya(xh)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左c右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，、以及cc0x2，00，关于对称轴对称的点2h，、与x轴的交点x1，，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 2.画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 三、二次函数的图像和性质

2yaxbxc的性质

1.二次函数（1）. 当a0时，抛物线开口向上，对称轴为b4acb2，4a2a．

xb2a，顶点坐标为当xbbx2a时，y随x的增大而减小；当2a时，y随x的增大而增大；

b4acb2x2a时，y有最小值4a．

当xb2a，顶点坐标为（2）. 当a0时，抛物线开口向下，对称轴为

b4acb2，2a4a．

当xbbx2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；

b4acb2x2a时，y有最大值4a．

当2.二次函数 a的yaxhk2 的性质：

性质

xh时，y随x的增大而增大；符号

开顶点对口方向

坐标

称轴

a0

向上

h，k

X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．

xh时，y随x的增大而减小；a0

向下

h，k

X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．

四、二次函数图象的平移

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

五、二次函数与一元二次方程：

22一元二次方程axbxc0是二次函数yaxbxc当函数值y0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：

2Ax，0，Bx，0① 当b4ac0时，图象与x轴交于两点12(x1x2)，其ax2bxc0a0x，x12中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离b24acABx2x1a. ② 当0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当0时，图象与x轴没有交点.

1'

当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

2'

当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0． 六、二次函数中的符号问题

1. 二次项系数a

a决定了抛物线开口大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．

⑴

在a0的前提下，

b0b02a当时，，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

b0b02a当时，，即抛物线的对称轴就是y轴；

b0b02a当时，，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵

在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即

b0b02a当时，，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

b0b02a当时，，即抛物线的对称轴就是y轴；

b0b02a当时，，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

总结：“左同右异”

3. 常数项c

⑴

当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵

当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

⑶

当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

七、二次函数解析式的确定：

根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．