1.4.1 全称量词名师教学设计1

《全称量词和全称命题》

《存在量词和特称命题》

——教学设计

王辛

依安县第一中学

全称量词和全称命题

存在量词和特称命题

一．教材分析：

按课标要求，应通过大量的具体实例来帮助学生理解两类量词（全称量词和存在量词）的含义，并学会正确使用，避免形式化的记忆。要以学生已学过的数学内容为载体，帮助学生正确使用这两类量词，加深对已学过的数学知识之间的逻辑联系和数学本质的认识。教材中用“所有的奇数都是素数”和“数列1,2,3,4,5的每一项都是偶数”作为引入例题，对命题进行否定，通过直观分析，学生容易得到全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，并通过实例让学生体会要说明一个全称命题是错误的，只需找一个反例即可；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质。

二．学情分析：

由于刚接触选修2-1，大部分学生学习的热情很浓，并且大多数学生的基础比较扎实。但学生在学习某些数学符号，比如和，以及对一些词语否定的理解中，比如至少有一个的否定，都是的否定等，会存在一些困难，原因主要是它们的抽象性、概括性和复杂性。

三．教学目标：

1.

知识与技能：

（1）

通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词和存在量词的意义。

（2）

学生能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2.

过程与方法：

在使用量词的过程中加深对以往所学知识的理解，并通过对所学知识的梳理，构建新的理解。

3.

情感、态度与价值观：

通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流。

四．教学重点和难点：

重点：理解全称量词和存在量词。

难点：正确地判断全称命题和特称命题的真假。

五．教学方法与手段：

启发式，合作探究式，使用多媒体课件

六．教学流程：

教学环节

情境导入

教学程序设计

首先用多媒体向学生们展示一位德国数学家——哥德巴赫，他也是一位中学教师，和欧拉保持了三十多年的书信往来，在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下猜想：

（a）任何一个不小于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和；

(b) 任何一个不小于9的奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

我国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”把这个结果表示为1+2，这是目前这个问题的最佳结果。

师：“科学猜想也是命题，为什么迄今这两个命题的证明仍是一个难题？”。让学生去发现“任何”两个字，由此引入课题。

提出问题

组

小组合作学习能观察以下命题，找出它们有什么共同的特点？

为学生营造一个轻（1）所有正方形都是矩形；

松、自主、和谐的课（2）每一个有理数都能写成分数的形式；

堂学习气氛，培养主（3）任何素数都是奇数；

动参与意识，并强化（4）每一个关于x的方程ax+b=0都有解；

学生对自己同伴学（5）所有有中国国籍的人都是黄种人；

习进展的关心。另（6）如果直线m垂直于平面内的任意一条直线，外，通过具体实例，那么直线a垂直于平面；

能为抽象概念搭建（7）一切三角形的内角和都等于；

具体模型，有助于学（8）棱柱是多面体。

生对于抽象的概念把学生分成四组，给出五分钟的时间讨论，然后产生形象的认识，促每组选一个代表回答，再让本组其他同学补充。

动学生对概念的主

动探究。

设计意图

以哥德巴赫猜想作为引入，能很大地激发学生的学习兴趣和积极性，为本节课提供了一个良好地开端。另外，还能让学生了解数学史的有关知识，拓宽学生的知识面。

教师板书全称量词和全称命题的定义：

像“

像“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，用符号表示，像这样含有全称量词的命题叫作全称命归纳定义题。

（一）

引导学生给出全称命题的符号表示。

符号表示：

xM,p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立。”

教师指出：在某些全称命题中，有时全称量词可以省略，如命题（8）。

使学生对知识形成系统地了解和认识，并使他们感受到数学的多种语言，如这里的文字语言、符号语言。

教师进一步追问，以上命题哪些是真哪些是

假？给学生三分钟时间，小组合作讨论，并让

学生回答。

再次让学生在已有的知识

（1）（2）（6）（7）（8）是真命题，（3）（4）（5）基础之上，经历观察，探究，是假命题。

归纳的过程，在类比、归纳过程中，获得体验和成功感，自深化问题

教师要求：把假命题改变一下，使其是真命然而然地得出存在量词和特题。

称命题，并且很容易地理解他题3可改为：存在一个素数不是奇数

们的本质，培养了学生的类比题4可改为：至少有一个关于x的方程ax+b=0归纳和概括能力。

无解；也会有同学这样回答：有些关于x的方

程ax+b=0无解。

（教师由此可以强调表述可以不唯一）。

题5可改为：有些有中国国籍的人不是黄种人。或其他改法。

教师引导学生观察这三个命题，发现它们的量词有什么特点。

由此引入存在量词和特称命题的定义：

像“存在”“至少有一个”“有些”“有一个”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，用符号表示，含有存在量词的命题叫作特称命题。

符号表示：xM,P(x)，读作：存在一个x属于M，使p(x)成立。（让学生类比特称命题给出）

使学生对知识形成系统地了解和认识。

归纳定义（二）

巩固练习

判断下列命题是全称命题还是特称命题：

1.三个给定的产品都是次品；

2.方程x8x150有一个根是偶数；

3.有些三角形是锐角三角形；

4.末位数字是0或5的整数，能被5整除。

2

让学生对所学的知识及时加以巩固。

深化问题

继续让学生总结，怎样对八个命题判断真假的？

结论：要说明全称命题是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；但要判断一个全称命题是假命题，只需在集合M中找到一个x，使p(x)不成立。

通过总结加深学生对全称量词和全称命题的理解，启发引导学生交流讨论，总结判断全称命题真假的方法，培养学生举反例的能力，让学生经历由特殊到一般和由一般到特殊的探究认识过程，从而使学生从本质上理解全称量词和全称命题的含义。

巩固练习

练习：判断下列全称命题的真假：

2（1）

每一个无理数x，x也是无理数；

（2）

对任意

22abab课堂练习是学生掌握知识、形a,bR,；

22成技能、发展智力、挖掘创新(3)对于

潜能的重要手段。巩固学生对知识和方法的掌握情况，补缺a,b{x|xmn2,m,nQ}，

补差。这三道练习题设计地有梯度，能满足不同层次学生的ab{x|xmn2,m,nQ}

需求。

教师引导学生动起来，对于（3），难度

较大，可以根据学生的接受程度选用，培养

学生的数学符号使用能力和抽象思维能力。

变式训练

变式：判断下列命题的真假。

（1）有的等差数列不具有单调性；

（2）存在两个相交平面垂直于同一个平面；

（3）存在实数x,使得xx10

教师：引导学生“动”起来，通过学生的合作交流探究，由他们自己总结：

要判断特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个x,使p(x)成立；若在集合M中找不到x，使得p(x)成立，则说明特称命题是假命题。

2

通过练习让学生进一步认识存在量词和特称命题的含义，启发引导学生在类比全称命题真假的判断中总结判断特称命题真假的方法，培养学生分析问题解决问题的能力，加深对存在量词和特称命题本质的理解。

深化练习

练习：

设函数f(x)x22xm,若对

x2,4,f(x)0恒成立，

理解含有量词的命题，在这道题先让学生交流讨论，由他们来说出探究的深化中加深对量词的解题思路，教师再作补充，并规范解题步骤。

认识，并进一步提高分析问题解决问题的能力，使不同层次解：法一：直接求函数f(x)的最小值即的学生都得到提高。并通过一可。

题多解，发散学生的思维。

法二：分离参数法：由f(x)0解出求m的取值范围。m2xx2，然后求函数y2xx2的最大值即可。

课堂小结

师：1.回顾反思本节课，你收获了什么？

引导学生从知识上、方法上及情感态度上去总结。

2.你还有什么疑问？

提出一个问题比解决一个问题更重要，通过师生的共同回顾反思，加强师生交流，拓宽师生互动的空间，发挥学生的主体作用，使学生有所思，有所悟，培养学生的学习探究能力和概括总结能力。

布置作业

必做题：习题1-3

A组

3

探究题：写出下列命题的否定，判断其真假并给出证明：

命题：已知a(1,2),存在b=（x,1),使a+2b与2a-b平行。

设计不同层次的作业，让学生们都能在作业中体验到成功的喜悦，从而很好地调动学生学习的积极性，激发学习兴趣。

七．板书设计：

课题

1.

全称量词和全程命题

练习1

定义：

符号表示：

2.

存在量词和特称命题

练习2

定义：

符号表示：

3.

如何判断两种命题的真假

练习3

八．课后作业设计：

1.下列命题是全称命题的是：（）

A.平面四边形都有外接圆

B.存在一个实数x，它的平方不大于零

C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

D．有些函数不具有奇偶性

【设计意图】能正确判断两类命题。

2.下列命题中，真命题的是（）

A. 至少有一个整数，它既不是质数，也不是合数

B．垂直于同一平面的两平面平行

C．不存在既是等差又是等比的数列

D．正弦函数是单调函数

【设计意图】会判断全称命题和特称命题的真假，并且能正确理解两类量词的含义。

3.把正弦定理改成含有量词的命题。

解：对任意的三角形ABC，abc

sinasinbsinc

【设计意图】会用量词准确表达一些定理公式等。

4.用符号表示该命题：

已知二次函数f(x)a(x21)b(x1),则存在实数a,b,

12使不等式xf(x)(x1)对任意实数x恒成立。2【设计意图】会用符号表示一些数学命题，让学生感受数学符号带来的简洁美。

5.对x(0,+),总a(0,+),使得f(x)x恒成立，求a的取值范围。a2

x

【设计意图】在解决问题中，让学生感悟转化的数学思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。

九．教学反思：

本节课由著名数学问题哥德巴赫猜想引入课题，把学生的兴趣充分调动了起来，并能激发他们强烈的学习兴趣，整节课主要以问题为切入点，层层递进，比如先由八个命题，让学生发现全称量词和全称命题，然后由命题的真假性判断，向学生引入存在量词和特称命题，自然而然地过度过来，并突破了难点，即对这两类命题真假性的判断，并让学生及时地去反思总结，整节课，培养了学生观察归纳的能力、概括能力、类比能力、分析问题总结问题的能力。由于这节课主要放手给学生，让他们交流讨论发言，因此，很好地调动了学生学习的主动性，激发了学习的积极性，这也充分体现了新课标的思想。