3.1.2 导数的概念教案评析

第一节:

导数的概念及运算

教学目标

1.

知识目标:⑴了解导数概念的实际背景,

理解导数的几何意义

⑵能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=错误！未找到引用源。的导数

⑶能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

2.

能力目标:

⑴能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

⑵运用公式法则解决一些简单问题. 3.

教学重点：函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;

导数的四则运算法则. 教学难点：函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义. 教学方法：“学做导合一”

教学过程：

一、

导语

二、

考试说明要求及解答

1、

考试说明要求

（1）导数概念及其几何意义

①

了解导数概念的实际背景

②

理解导数的几何意义

（2）导数的运算

yC,yx,yx2,y①能根据导数定义求函数1x的导数

②能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

●常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式

：

C'0(C为常数)；(sinx)'cosx;(ex)'ex;(lnx)'1;x(xn)'nxn1,nN;(cosx)'sinx;(ax)'axlna(a0,且a1)(logax)'1logae（a0且a1）x

'''[u(x)v(x)]u(x)v(x)

●法则1 '''[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)

●法则2 u(x)'u'(x)v(x)u(x)v'(x)[](v(x)0)2v(x)v(x)●法则3

（2）考试说明解读:高考主要考查基本技能和基本方法为主,理解导数的几何意义,会求简单函数的导数,试题以低中档为主. 三、

知识点归纳梳理

1、

展示自学提纲

1．）平均变化率及瞬时变化率

Δy(1)f(x)从x1到x2的平均变化率是：＝①________. Δx(2)f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim

Δx→0Δy＝②_______. Δx2.)导数的概念

(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的③______，记作y′|fx0＋Δx－fx0. Δx(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝④__________________. 3.)导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是⑤______________，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为⑥________________. 4.)基本初等函数的导数公式

(1)C′＝⑦______(C为常数)．

(2)(xn)′＝⑧__________(n∈Q*)．

(3)(sinx)′＝⑨______，(cosx)′＝⑩______. (4)(ex)′＝⑪______，(ax)′＝⑫______. (5)(lnx)′＝⑬______，(logax)′＝⑭______. 5.)导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝⑮__________. (2)[f(x)·g(x)]′＝⑯______________________. fxf(3)gx′＝2、

3、

4、

四、

1、

xgx－fxg[gx2x(g(x)≠0)．

x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝lim

Δx→0学生自主学习

检查学生自学情况（师生相互提问）

教师指导归纳

典型考题分析

学生试做考题，教师巡视掌握情况

h01．)设函数f（x）在x=x0处可导,则lim而与h无关 。

f(x0h)f(x0)与x0,h的关系是 仅与x0有关h2．)一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s速度为零的时刻是 1，2，4秒末。

1473tt7t28t，那么433．)已知f(x)xxf(1), 则f(2) 0 。

4．)已知y32''sinx2,x(,),则当y'2时,x。

1cosx3

5．)（1）已知f(x)axxa,则f'(1)alnaa。

6．)已知两曲线yx3ax和yx2bxc都经过点P（1,2），且在点P处有公切线，试求a,b,c值。

解：因为点P（1,2）在曲线yx3ax上，a1函数yx3ax和yx2bxc的导数分别为y3x2a和y2xb，且在点P处有公切数31a21b，得2b=2又由2121c，得c1

222、

学生提出问题

3、

教师精讲考题

例1．下列函数的导数：

32x3xx1 ③f(x)ex(cosxsinx)

①y(x1)(2x3x1) ②yxx分析：利用导数的四则运算求导数。

2解：①法一：y2x33x2x2x23x12x35x22x1

∴

y6x210x2

法二：y(x1)(2x23x1)(x1)(2x23x1)=2x3x1+(x1)(4x3)

6x210x2

②

y2x3x－x23212xx13232322∴

y3xxxx

22－x1235 ③f(x)e（cosx+sinx）+e（－sinx+cosx）2ecosx, －x点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考对导数考查的基本要求。

例2．

如果曲线yx3x10的某一切线与直线y4x3平行，求切点坐标与切线方程．

分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线yf(x)在给定点P(x0,f(x0))处的切线的斜率kf(x0)，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

解：切线与直线y4x3平行，

斜率为4又切线在点x0的斜率为yxx0(x3x10)xx0x01223x01∵

3x0

∴∴

或x1140y08x01∴切点为（1，-8）或（-1，-12）

y012切线方程为y84(x1)或y124(x1)即y4x12或y4x8

点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。

变题：求曲线y2xx3的过点A(1,1)的切线方程。

答案：xy20,5x4y10

点评：本题中“过点A(1,1)的切线”与“在点A(1,1)的切线”的含义是不同的，后者是以A为切点，只有一条切线，而前者不一定以A为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点，然后求出切点坐标，再解决问题。

五、

课堂训练

1、

学生做题，教师巡视掌握情况

7

的单位是s，该物体在3秒t1．)一物体做直线运动的方程为s1tt，s的单位是m,92末的瞬时速度是5m/s。

x22．)设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)8，则生产8个单位产品时，边际成8本是 2 。

3．)已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （1） 。

2（1）f（x）=（x－1）+3（x－1）

（2）f（x）=2（x－1）

2（3）f（x）=2（x－1） （4）f（x）=x－1 4．)若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为4xy30。

5．)过点（0，－4）与曲线y＝x＋x－2相切的直线方程是 y＝4x－4 ．

6．) 求下列函数的导数：

22(1)y=(2x-1)(3x+1) (2)yx2sinx (3)yln(x1x) 3xcosxcos2xex1 (4)yx (5)y (6)y

xsinxsinxcosxe1解：（１）y18x4x3, (2)y2xsinxxcosx; 222ex(3)y, (4)yx; 22(e1)1x1(5)yxcosxxsinxsinxcosx1, (6)ysinxcosx. 2(xsinx)4327．)已知曲线C：y3x2x9x4

（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；

（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

解：（1）切线方程为y412x1，即y128

（2）除切点外，还有两个交点(2,32),,0。

8 ) 已知直线l1为曲线yx2x2在点(0,2)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，23且l1l2

（Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积

解：

设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，

y'2x1，由题意得k1y'|x01,得直线l1的方程为yx2l1l2k211

k1令2x11,得x1,将x1代入yx2x2,得y2

l2与该曲线的切点坐标为A(1,2),由直线方程的点斜式得直线l2的方程为：yx3 （Ⅱ）由直线l1的方程为yx2,令y0得:x=2

由直线l2的方程为yx3，令y0得:x=3由yx25得：y 2yx3设由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积为S，则：s2、

3、

六、

七、

检查学生做题情况

教师指导，质疑解疑

课堂小结

作业布置

21525 [2(3)]2241.(2011年广东华南师大附中高三综合测试)曲线y=2x在点P(1,2)处的切线方程是(

)

(A)4x-y-2=0 (B)4x+y-2=0

(C)4x+y+2=0 (D)4x-y+2=0

22.(2011年广东省东莞市高三模拟)已知曲线y=错误！未找到引用源。x的一条切线的斜率为错误！未找到引用源。,则切点的横坐标为(

)

(A)4 (B)3 (C)2 (D)错误！未找到引用源。

3.(2012年广东茂名高三第一次模拟考试)已知直线y=ex与函数f(x)=e的图象相切,则切点坐标x为

.

4.(2012年湖南衡阳模拟)曲线f(x)=xsin x-cos x在x=错误！未找到引用源。处的切线的斜率等于

.

5.(2011年杭州市教学质量检测)已知函数f(x)=x+f'(错误！未找到引用源。)x-x,则函数f(x)的图象在(错误！未找到引用源。,f(错误！未找到引用源。))处的切线方程是

.

32附：板书设计：

导数的概念和运算

1、

概念

2、

基本初等函数导数公式

3、

求导法则

例(1)：……

分析：

(2)：……

分析：

课堂练习

教学反思：