6.4 反三角函数优秀公开课教案

课题：6.4（1）反正弦函数 课时：一课时

课型：新授课

一、教学目标：

1.理解反正弦函数yarcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[,]；

222.知道反正弦函数yarcsinx,x[1,1]的图像；

3.掌握等式arcsin(x)arcsinx,x[1,1]、

sin(arcsinx)x,x[1,1]、arcsin(sinx)x,x[,]；

224.能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角；

5.会用数形结合等数学思想分析和思考问题。

二、教学重点与难点：

教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质；

教学难点：反正弦函数yarcsinx,x[1,1]的产生和从本质上处理正弦函数ysinxxR的反函数问题。

三、教学手段：多媒体辅助课堂教学。

四、教学过程：

（一）

复习引入

1．复习反函数的相关概念，强调反函数存在的条件

2．思考一：

试问函数yx2是否存在反函数？试说明理由。若不存在，试改变这个函数的定义域后使它具有反函数。

思考二：

（1）正弦函数ysinx(xR)有反函数吗？

[说明] 因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应，正弦函数的自变量与因变量是多对一的，故而不存在反函数。

1

（2）正弦函数ysinx,x[,]有反函数吗？

22[说明]正弦函数不存在反函数，但只要选取某一区间使得ysinx在该区间上存在反函，因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了。

（二）学习新课

1.反正弦函数的定义：

函数ysinx,x[2.反正弦函数的性质：

①图像

②定义域[1,1]

③值域[21,]的反函数叫反正弦函数，记作yarcsinx,x[1,1]

22yy=arcsinxy=xy=sinx,]

22o12x④奇偶性：奇函数，

即arcsin(x)arcsinx,x[1,1]

⑤单调性：在[-1，1]上是增函数

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称，函数ysinx,x[与函数yarcsinx,x[1,1]的图像关于直线yx对称。

（三）例题分析

例1．求下列反正弦函数的值：

（1）arcsin13；

（2）arcsin0；

（3）arcsin()

22,]22解：略

例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：

（1）sinx13,x[,]；

（2）sinx,x[,]；

422522（3）sinx3,x[0,]

3解：（1）、（2）略；

2

3

（3）在区间[0,]，由定义，可知xarcsin；

233

在区间[,]上，由诱导公式，可知xarcsin，

23因此xarcsin33或xarcsin

33[说明]

对于用反正弦函数值表示区间[,]外的角，教材不作要求，但考虑到22在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习。

思考三：

当x[1,1]时，sin(arcsinx)

当x[,]时，arcsin(sinx)

22例3．化简下列各式：

15（1）sin(arcsin)；

（2）arcsin(sin)；

（3）arcsin(sin)

596解：（1）、(2)略

（3）因为55[,]，而[,]，且sinsin，

622622665所以arcsin(sin)arcsin(sin)

666（四）巩固练习

1、判断下列各式是否成立?简述理由。

（1）arcsin33；

（2）arcsin；

2332（3）arcsin12k,kZ；

（4）arcsin()arcsin；

233（5）sin(arcsin2)2

解：（1）式成立；

（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[1,1]；

（3）式仅当k0时成立，k取其它整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[,]。

223

2、用反正弦函数值的形式表示下列各式中的x：

（1）sinx13,x[2,2]；

（2）sinx24,x[0,]

解：略

四、课堂小结

教师引导学生总结：

（1）反正弦函数的定义；

（2）反正弦函数的性质。

五、作业布置

课本P108练习6.4(1)1、2、3、4

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