3.1.2 导数的概念教案推荐

导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

[新知初探] 1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

(1)定义式：ΔyΔx＝－－x1. (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．

(3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)平均变化率的几何意义：

设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝－－x1＝＋Δ－为割线AB的斜率，如图所示．

[点睛]

Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

定义式

limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→＋Δ－

3．导数的概念

从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:

x0limf(x0x)f(x0)flim

x0xx'我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y|xx0，即

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)

x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)limx0f(x)f(x0)

xx0

实质

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

[小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(

) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(

) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度为(

) A．6＋Δt

B．6＋Δt＋9Δt C．3＋Δt

D．9＋Δt 答案：A

3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(

) A．4

B．4x C．4.2

D．4.02 答案：C 求函数的平均变化率

[典例]

求函数f(x)＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？

[解]

在x＝1附近的平均变化率为

k1＝＋Δ－＝＋Δ－1Δx＝2＋Δx；

在x＝2附近的平均变化率为

k2＝＋Δ－＝＋Δ－22Δx＝4＋Δx；

在x＝3附近的平均变化率为

k3＝＋Δ－＝＋Δ－32Δx＝6＋Δx；

若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，

k3＝6＋13＝193，

由于k1＜k2＜k3，

故在x＝3附近的平均变化率最大．

求平均变化率的步骤

(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)．

(2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔyΔx＝－－x0.

[活学活用] 求函数y＝x3从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．

求瞬时速度

[典例]

一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度．

[解]

(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，

∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，

ΔsΔt＝3Δt－＝3－Δt，limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (3－Δt)＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt]，

∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，

ΔsΔt＝－Δt－＝－1－Δt，

limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (－1－Δt)＝－1，

∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．

(2)求平均速度v＝ΔsΔt；

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．

2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法

(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；

(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．

[活学活用] 一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝12t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(

) A．2

B．1

C.12 D.14 求函数在某点处的导数

[典例]

(1)函数y＝x在x＝1处的导数为________．

(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，

①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值ΔyΔt；

②求t1＝4时的导数．

1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率ΔyΔx＝＋Δ－；

(3)求极限limΔx→0 ΔyΔx. 2．瞬时变化率的变形形式

limΔx→＋Δ－

＝limΔx→－Δ－－Δx ＝limΔx→＋－

＝limΔx→＋Δ－－ΔΔx

＝f′(x0)．

[活学活用] 求函数y＝x－1x在x＝1处的导数．

解：因为Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－1－1＝Δx＋Δx1＋Δx，所以ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx. 当Δx→0时，ΔyΔx→2，

所以函数y＝x－1x在x＝1处的导数为2.

教后反思：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

归纳总结练习见材料