3.1.1 变化率问题设计意图

3.1.1变化率问题教学设计

遂溪县第一中学

陈楚慧

一、教材分析

本节内容选自课程标准实验教科书人教A版选修1-1第三章第一节的内容。导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。平均变化率是为了导数的引入做过渡性的铺垫，理解平均变化率并以此为基础再到瞬时变化率的过程，是理解导数思想的关键环节。

二、学情分析

学生已有的知识结构是，进入高中后对函数的认识有了一定的积累，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．

三、教学目标

知识与技能：

1.

理解平均变化率的概念；

2.

通过具体的事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程. 过程与方法：

1.

通过动手计算培养学生的观察、分析、比较和归纳能力；

2.

通过对实际问题的探究使学生体会从特殊到一般的数学思想. 情感、态度与价值观：

感受数学模型在刻画客观世界的过程，体会数学在生活中的意义与作用. 四、教学重点、难点

重点：平均变化率概念的归纳；

难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程. 五、教学方法

引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率. 六、教学过程

（一）、合作探究

1

探究1：

时间x（年）

2010 2011 5633 2012 6337 2013 7077 2014 7683 2015 8069 2016 8117 2017 8826 人均GDP y（美元）

4560 问题1：2010年至2012年这2年内我国人均GDP平均每年增加多少美元？

2010年至2017年这7年内我国人均GDP平均每年增加多少美元？

思考1：如何从数学角度刻画2010年至2017年这7年我国人均GDP“猛增”？

【设计意图】通过创设情境，引导学生感受生活中数学的意义，构建模型，归纳数学知识.

探究2：现某市某年3月和4月某天日最高气温记载

时间

日最高气温

3月18日

4月18日

4月20日

3.5C

18.6C

33.4C

观察：3月18日到4月18日、4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示如下（注：3月18日为第一天）

问题2：如何表示3月18日到4月18日、4月18日到4月20日的温度变化？

思考2：如何从数学角度刻画气温“陡增”？

【设计意图】：从数学实际背景出发，进一步引导学生利用现有知识解决问题，让学生意识到事物变化的快慢程度.

探究3：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.

2

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)43r

3如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)33V

4问题3：当V从0增加到1时,气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？

当V从1增加到2时,气球半径增加了多少？气球的平均膨胀率为多少？

思考3：如何从数学的角度描述气球的膨胀快慢？

【设计意图】通过生活实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上构建新知识，深刻体会平均变化率概念的构建.

问题4：由探究得出平均变化率计算关系式，他们有什么共同特点?对于一般函数f(x)，如何计算其平均变化率？

归纳出结论：平均变化率的概念

【设计意图】让学生结合实例，对比、分析，抽象概括出一般形式，经历由特殊到一般的数学过程.

问题5：

观察函数f(x)的平均变化率

【设计意图】从几何角度得到平均变化率的几何意义，体现数形结合的思想.

f(x2)f(x1)y

，你能联想到什么？

x2x1x

3

（二）、精讲释疑

例1：已知函数f (x)

=2x+1、g(x) =-2x, 分别计算在区间

[-3, -1]、[0, 5]上

f (x)及

g (x)的平均变化率．

思考：一次函数y =kx+b(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点？

例2：求yx2在xx0附近的平均变化率.

（三）、训练检测

1.质点运动规律为st3,则在时间(3,3t)中相应的平均速度为

. 2.物体按照s(t)3tt4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线yf(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线,求出当x0.1时割线的斜率. 22

（四）、课堂小结

通过节课你收获了什么？

知识层次：

思想层次：

4